Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1+|x|};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{1}{1+|x|}
é injetiva e se é sobrejetiva. Vamos usar as definições:
Injetiva: f(x_1)=f(x_2) implica x_1=x_2.
Sobrejetiva: para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y.

Passo 2

Analisando a injetividade, note que f(x) depende apenas de |x|. Logo
f(x)=\frac{1}{1+|x|}=f(-x).
Por exemplo, f(1)=1/2=f(-1) mas 1\neq -1. Portanto não vale f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2, e f não é injetiva.

Passo 3

Para a sobrejetividade, examine o conjunto imagem de f. Como |x|\ge0, temos
1+|x|\ge1\quad\Longrightarrow\quad 0<\frac{1}{1+|x|}\le1.
Assim \mathrm{Im}(f)=(0,1]. Logo para qualquer y\notin(0,1] não existe x com f(x)=y. Por exemplo, não há solução real de
\frac{1}{1+|x|}=2 \quad\text{ou}\quad \frac{1}{1+|x|}=0.
Portanto f não é sobrejetiva no codomínio \mathbb{R}.

Resposta

A função não é injetiva e também não é sobrejetiva.

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