Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
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Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar duas propriedades:
– Injetividade: é injetiva se, sempre que
, então
.
– Sobrejetividade: é sobrejetiva se, para todo
em
, existe
em
tal que
.
– Injetividade:
– Sobrejetividade:
Passo 2
Para testar injetividade, note que
é uma função par, isto é,
. Logo
Isso mostra que
mas
. Portanto
não é injetiva.
Passo 3
Para verificar sobrejetividade, seja um valor genérico
. Queremos achar
tal que
Invertendo essa relação vem
Como
implica
, o número
está em
. Logo existe
real (por exemplo
ou
) que satisfaz a equação, garantindo
. Assim
é sobrejetiva.
Resposta
A função
não é injetiva e é sobrejetiva.