Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f:[0,1) \rightarrow(0, \infty), f(x)=\frac{1}{1-x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função
f:[0,1)\to(0,\infty),\quad f(x)=\frac{1}{1 - x^2}
é injetiva e/ou sobrejetiva. Vamos usar definição de injetividade (valores diferentes de x dão imagens diferentes) e de sobrejetividade (a imagem de f deve coincidir com todo o codomain (0,\infty)).

Passo 2

Verificação de injetividade.
  1. Calculemos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl((1 - x^2)^{-1}\Bigr) = (-1)\,(1 - x^2)^{-2}\,\bigl(-2x\bigr) = \frac{2x}{(1 - x^2)^{2}}.
  1. Para todo x\in[0,1) temos x\ge0 e (1 - x^2)^2>0, logo f'(x)\ge0.
  2. Mais precisamente, para x>0 temos f'(x)>0, o que implica que f é estritamente crescente em (0,1). Em x=0, f'(0)=0 mas a monotonia global não se altera: f cresce de f(0)=1 para valores arbitrariamente grandes.
  3. Conclusão: f é estritamente crescente em todo [0,1), portanto injetiva.

Passo 3

Verificação de sobrejetividade.
  1. Calculemos a imagem de f em [0,1):
  • Em x=0,
f(0)=\frac{1}{1-0^2}=1.
  • Quando x\to1^-, o denominador 1 - x^2\to0^+, logo
f(x)=\frac{1}{1 - x^2}\to+\infty.
  1. Como f é contínua e crescente, sua imagem é o intervalo
f([0,1))=[\,1,\infty).
  1. O codomain exigido é (0,\infty). Observamos que nenhum x\in[0,1) produz valores em (0,1). Por exemplo, não existe x tal que f(x)=\tfrac12.
  2. Conclusão: a imagem de f é [1,\infty), que é estritamente menor que (0,\infty). Portanto f não é sobrejetiva.

Resposta

f é injetiva.
f não é sobrejetiva, pois \operatorname{Im}f=[1,\infty)\neq(0,\infty).

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