Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
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Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
é injetiva e/ou sobrejetiva. Vamos usar definição de injetividade (valores diferentes de
dão imagens diferentes) e de sobrejetividade (a imagem de
deve coincidir com todo o codomain
).
Passo 2
Verificação de injetividade.
- Calculemos a derivada de
:
- Para todo
temos e , logo . - Mais precisamente, para
temos , o que implica que é estritamente crescente em . Em , mas a monotonia global não se altera: cresce de para valores arbitrariamente grandes. - Conclusão:
é estritamente crescente em todo , portanto injetiva.
Passo 3
Verificação de sobrejetividade.
- Calculemos a imagem de
em :
- Em
,
- Quando
, o denominador , logo
- Como
é contínua e crescente, sua imagem é o intervalo
- O codomain exigido é
. Observamos que nenhum produz valores em . Por exemplo, não existe tal que . - Conclusão: a imagem de
é , que é estritamente menor que . Portanto não é sobrejetiva.
Resposta
–
é injetiva.
– não é sobrejetiva, pois
.
–