Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R} \rightarrow(0,1], f(x)=\frac{1}{1+|x|};

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f\colon \mathbb{R}\to (0,1],\qquad f(x)=\frac{1}{1+|x|},
e pede para verificar duas propriedades:
– Injetividade: f é injetiva se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), então x_{1}=x_{2}.
– Sobrejetividade: f é sobrejetiva se, para todo y em (0,1], existe x em \mathbb{R} tal que f(x)=y.

Passo 2

Para testar injetividade, note que |x| é uma função par, isto é, |x|=|-x|. Logo
f(x)=\frac{1}{1+|x|} \quad\text{e}\quad f(-x)=\frac{1}{1+|-x|}=\frac{1}{1+|x|}=f(x).
Isso mostra que f(1)=f(-1) mas 1\neq -1. Portanto f não é injetiva.

Passo 3

Para verificar sobrejetividade, seja um valor genérico y\in(0,1]. Queremos achar x\in\mathbb{R} tal que
y = \frac{1}{1+|x|}.
Invertendo essa relação vem
1+|x| = \frac{1}{y} \qquad\Longrightarrow\qquad |x| = \frac{1}{y} - 1.
Como y\in(0,1] implica \tfrac{1}{y}\ge1, o número \tfrac{1}{y}-1 está em [0,\infty). Logo existe x real (por exemplo x = \tfrac{1}{y}-1 ou x= -(\tfrac{1}{y}-1)) que satisfaz a equação, garantindo f(x)=y. Assim f é sobrejetiva.

Resposta

A função f não é injetiva e é sobrejetiva.

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