Considere
e
conjuntos em
(que podem ser o próprio
). Para cada item, determine, o Domínio e o Contradomínio de
para que
seja uma função bijetora. (Para o Domínio, não é exatamente o domínio máximo, é o máximo para que
seja injetora.)
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar conjuntos
e
tais que
seja bijetora. Para isso precisamos de (i) um domínio
máximo em que
seja injetiva e (ii) escolher o contradomínio
igual à imagem de
, garantindo a sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio natural de
. A expressão
só deixa de fazer sentido quando o denominador
, ou seja, em
. Logo o maior domínio para o qual
está bem-definida é
Passo 3
Para ver que
é injetiva em
, calculamos a derivada:
Como
em todo
, temos
para todo
. Isso mostra que
é estritamente decrescente em cada intervalo de
e, portanto, injetiva.
Passo 4
Agora determinamos a imagem de
.
- Quando
, o denominador vai a zero por valores positivos e o numerador tende a , logo . - Quando
,
Dessa forma, em
a função varre os valores
.
- Analogamente, quando
, , e quando , . Logo em a imagem é .
Combinando, a imagem total é
Para que
seja sobrejetiva basta então escolher
Resposta
A função é bijetora em