Considere A e B conjuntos em \mathbb{R} (que podem ser o próprio \mathbb{R} ). Para cada item, determine, o Domínio e o Contradomínio de f para que f: A \rightarrow B seja uma função bijetora. (Para o Domínio, não é exatamente o domínio máximo, é o máximo para que f seja injetora.)
f: A \rightarrow B, f(x)=\frac{5 x+1}{x-2};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar conjuntos A\subseteq\mathbb{R} e B\subseteq\mathbb{R} tais que
f\colon A\to B,\qquad f(x)=\frac{5x+1}{x-2}
seja bijetora. Para isso precisamos de (i) um domínio A máximo em que f seja injetiva e (ii) escolher o contradomínio B igual à imagem de f, garantindo a sobrejetividade.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio natural de f. A expressão \frac{5x+1}{x-2} só deixa de fazer sentido quando o denominador x-2=0, ou seja, em x=2. Logo o maior domínio para o qual f está bem-definida é
A = \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 3

Para ver que f é injetiva em A, calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{(5)(x-2)-(5x+1)\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{5x-10-5x-1}{(x-2)^2} =\frac{-11}{(x-2)^2}.
Como (x-2)^2>0 em todo A, temos f'(x)<0 para todo x\in A. Isso mostra que f é estritamente decrescente em cada intervalo de A e, portanto, injetiva.

Passo 4

Agora determinamos a imagem de f.
  • Quando x\to2^+, o denominador vai a zero por valores positivos e o numerador tende a 5\cdot2+1=11, logo f(x)\to +\infty.
  • Quando x\to+\infty,
f(x)=\frac{5x+1}{x-2} =\frac{5+\tfrac1x}{1-\tfrac2x}\longrightarrow5.
Dessa forma, em (2,\infty) a função varre os valores (5,\infty).
  • Analogamente, quando x\to2^-, f(x)\to -\infty, e quando x\to-\infty, f(x)\to5. Logo em (-\infty,2) a imagem é (-\infty,5).
Combinando, a imagem total é
f(A)=( -\infty,5)\;\cup\;(5,\infty)=\mathbb{R}\setminus\{5\}.
Para que f seja sobrejetiva basta então escolher
B=\mathbb{R}\setminus\{5\}.

Resposta

A função é bijetora em
A=\mathbb{R}\setminus\{2\}, \qquad B=\mathbb{R}\setminus\{5\}.

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