Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o limite
existe. Se existir, calcular o valor; se não existir, justificar por que não (por exemplo mostrando dois caminhos com limites diferentes).
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - O denominador é
, que vale zero apenas em .
O objetivo é determinar existência do limite e, quando aplicável, seu valor numérico.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vou testar limites ao longo de curvas (caminhos) que passam por
. A ideia é simples e muito útil: se o limite existe e é
, então o valor da função ao aproximar
por qualquer caminho deve tender a
. Portanto, basta encontrar dois caminhos que dão limites distintos para concluir que o limite geral não existe. Essa é uma técnica padrão para mostrar não existência de limites em várias variáveis.
Passo 3
Escolho a família de caminhos dados por
onde
é um parâmetro real fixo. Ao aproximar
por esse caminho temos
e então
, logo o caminho é válido.
Substituindo
na expressão:
Passo 4
Fatorando
no numerador e no denominador:
Para
(ou seja, ao longo do caminho, exceto exatamente no ponto), podemos simplificar
, obtendo
Esse resultado é uma constante que não depende de
. Portanto, o limite da função ao longo do caminho
quando
é
Também verifico que o denominador
é positivo para
, então não há problema com divisão por zero ao simplificar.
Passo 5
Agora escolho dois valores de
que levem a limites diferentes:
- Para
(ou seja, o caminho ) obtemos
- Para
(ou seja, o caminho ) obtemos
Como o limite ao longo do caminho
é
e ao longo do caminho
é
, os dois resultados são diferentes.
Passo 6
Conclusão lógica e didática: se o limite
existisse, o valor seria o mesmo aproximando por qualquer caminho. Encontramos dois caminhos que dão limites distintos (
e
). Logo, o limite geral não existe.
Observação extra (útil em prova): a função está sempre entre
e
porque
mas isso só mostra que a função é limitada; não garante existência do limite único no ponto.
Resposta
O limite não existe.