Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}
existe. Se existir, calcular o valor; se não existir, justificar por que não (por exemplo mostrando dois caminhos com limites diferentes).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • O denominador é x^{4}+y^{2}, que vale zero apenas em (0,0).
O objetivo é determinar existência do limite e, quando aplicável, seu valor numérico.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vou testar limites ao longo de curvas (caminhos) que passam por (0,0). A ideia é simples e muito útil: se o limite existe e é L, então o valor da função ao aproximar (0,0) por qualquer caminho deve tender a L. Portanto, basta encontrar dois caminhos que dão limites distintos para concluir que o limite geral não existe. Essa é uma técnica padrão para mostrar não existência de limites em várias variáveis.

Passo 3

Escolho a família de caminhos dados por
y = k x^{2},
onde k é um parâmetro real fixo. Ao aproximar (0,0) por esse caminho temos x\to 0 e então y\to 0, logo o caminho é válido.
Substituindo y=kx^{2} na expressão:
\frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}} = \frac{x^{4} - (k x^{2})^{2}}{x^{4} + (k x^{2})^{2}} = \frac{x^{4} - k^{2}x^{4}}{x^{4} + k^{2}x^{4}}.

Passo 4

Fatorando x^{4} no numerador e no denominador:
\frac{x^{4}(1 - k^{2})}{x^{4}(1 + k^{2})}.
Para x\neq 0 (ou seja, ao longo do caminho, exceto exatamente no ponto), podemos simplificar x^{4}, obtendo
\frac{1 - k^{2}}{1 + k^{2}}.
Esse resultado é uma constante que não depende de x. Portanto, o limite da função ao longo do caminho y=kx^{2} quando (x,y)\to(0,0) é
\lim_{x\to 0}\frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}} = \frac{1 - k^{2}}{1 + k^{2}}.
Também verifico que o denominador x^{4}(1+k^{2}) é positivo para x\neq0, então não há problema com divisão por zero ao simplificar.

Passo 5

Agora escolho dois valores de k que levem a limites diferentes:
  • Para k=0 (ou seja, o caminho y=0) obtemos
\frac{1-0^{2}}{1+0^{2}} = \frac{1}{1} = 1.
  • Para k=1 (ou seja, o caminho y=x^{2}) obtemos
\frac{1-1^{2}}{1+1^{2}} = \frac{0}{2} = 0.
Como o limite ao longo do caminho y=0 é 1 e ao longo do caminho y=x^{2} é 0, os dois resultados são diferentes.

Passo 6

Conclusão lógica e didática: se o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}} existisse, o valor seria o mesmo aproximando por qualquer caminho. Encontramos dois caminhos que dão limites distintos ( 1 e 0). Logo, o limite geral não existe.
Observação extra (útil em prova): a função está sempre entre -1 e 1 porque
\bigl|x^{4}-y^{2}\bigr|\le x^{4}+y^{2},
mas isso só mostra que a função é limitada; não garante existência do limite único no ponto.

Resposta

O limite não existe.

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