Exercício 07

Considere um sistema em que podemos escrever a energia mecânica E na forma:
E=E_{c}+E_{p}
(a) Mostre que a velocidade pode ser avaliada a partir da expressão:
v=\sqrt{\frac{2}{m}(E-U(x))}
(b) Mostre que a equação anterior pode ser integrada, permitindo a obtenção de uma expressão para descrever a posição x(t) em função do tempo t.

Passo 1

O enunciado dá que a energia mecânica total pode ser escrita como
E = E_{c} + E_{p},
onde é entendido que E é a energia total do sistema (constante se não há perda/ganho de energia externamente), E_{c} é a energia cinética e E_{p} é a energia potencial. O exercício pede duas coisas:
(a) Mostrar que a velocidade pode ser obtida a partir de uma expressão envolvendo E e U(x).
(b) Mostrar que a expressão do item (a) pode ser integrada para obter uma relação que descreva a posição x(t) em função do tempo t.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • m é a massa da partícula (constante positiva).
  • v é a velocidade, função do tempo t e em geral função de x via v=\dfrac{dx}{dt}.
  • A energia potencial é escrita como E_{p}=U(x), função conhecida (ou suposta dada) de x.
  • A energia total E é um valor fixo determinado pela condição inicial.

Passo 2

Primeiro, lembrando as fórmulas básicas (essas são úteis na prova; anota aí):
  • A energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é
E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}.
Explicação: essa fórmula vem da definição de trabalho necessário para acelerar a partícula; m mede a inércia e v é a rapidez.
  • A energia potencial é escrita como
E_{p} = U(x),
onde U(x) é uma função que depende só da posição x. Exemplos: U(x)=0 (partícula livre), U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2} (oscilador harmônico).
Substituindo essas expressões na conservação da energia temos a equação que vamos manipular.

Passo 3

Substituindo E_{c} e E_{p} na relação E=E_{c}+E_{p} obtemos
E = \frac{1}{2} m v^{2} + U(x).
Agora isolamos v^{2}:
\frac{1}{2} m v^{2} = E - U(x).
Multiplicando por 2/m,
v^{2} = \frac{2}{m}\bigl(E - U(x)\bigr).
Tomando a raiz quadrada (atenção ao sinal),
v = \pm \sqrt{\frac{2}{m}\bigl(E - U(x)\bigr)}.
Interpretação e observações importantes:
  • O símbolo + corresponde à solução quando a partícula está se movendo no sentido crescente de x (isto é, dx/dt>0); o símbolo - quando o movimento é no sentido decrescente de x.
  • A expressão só faz sentido classicamente quando E - U(x)\ge 0. Os pontos onde E = U(x) são pontos de virada (turning points): v=0 ali.
  • Esta é exatamente a resposta do item (a).

Passo 4

Para chegar em x(t) usamos a relação entre velocidade e tempo:
v = \frac{dx}{dt}.
Substituindo a expressão obtida para v (escolhendo explicitamente o sinal conforme o sentido do movimento) temos
\frac{dx}{dt} = \pm \sqrt{\frac{2}{m}\bigl(E - U(x)\bigr)}.
Agora separamos variáveis para integrar: escrevemos dt em função de dx:
dt = \pm \sqrt{\frac{m}{2}}\,\frac{dx}{\sqrt{E - U(x)}}.
Aqui foi apenas um rearranjo algébrico: invertendo a velocidade e isolando dt.

Passo 5

Integramos ambos os lados entre condições iniciais. Seja t_{0} o tempo inicial com posição x_{0}=x(t_{0}). Integramos de t_{0} até t no lado esquerdo e de x_{0} até x(t) no lado direito:
\int_{t_{0}}^{t} dt' = \pm \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{x_{0}}^{x(t)} \frac{dx'}{\sqrt{E - U(x')}}.
A integral do lado esquerdo é simplesmente t-t_{0}, então obtemos a relação implícita
t - t_{0} = \pm \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{x_{0}}^{x(t)} \frac{dx'}{\sqrt{E - U(x')}}.
Esta é a forma geral que relaciona x e t. Em geral a integral depende da forma de U(x); salvo casos especiais, não é possível expressar x(t) em forma elementar: o resultado dá t como função de x e, se for necessário, inversa-se essa relação para obter x(t).

Passo 6

Comentários práticos para a prova e entendimento:
  • O sinal \pm deve ser escolhido conforme a direção do movimento (ou dividido por trechos do movimento, por exemplo entre duas viradas onde o sinal troca).
  • Os limites da integral \displaystyle \int_{x_{0}}^{x(t)} e a constante inicial t_{0} permitem ajustar a condição inicial.
  • Os pontos onde E = U(x) são extremos do movimento (turning points). Próximo a um turning point a integranda comporta-se como 1/\sqrt{x-x_{\text{turn}}}, que é integrável (o tempo para atingir o ponto de virada é finito).
  • Em muitos casos práticos a integral é avaliada por substituições adequadas ou tabelas (por ex. trigonométrica para polinômios quadráticos).

Passo 7

Dois exemplos curtos — veja como aplicar rapidamente na prova:
Exemplo 1 (partícula livre, U(x)=0):
  • A expressão de v v=\pm\sqrt{2E/m}, constante.
  • Integrando dx/dt=v resulta em
x(t)=x_{0} \pm \sqrt{\frac{2E}{m}}\,(t-t_{0}),
forma linear óbvia.
Exemplo 2 (oscilador harmônico, U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2}):
  • Temos v=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}\bigl(E - \tfrac{1}{2}k x^{2}\bigr)}.
  • A integral dá
t - t_{0} = \pm \sqrt{\frac{m}{2}} \int_{x_{0}}^{x(t)} \frac{dx'}{\sqrt{E - \tfrac{1}{2}k x'^{2}}}.
Fazendo a substituição x' = A\sin\theta com A=\sqrt{\dfrac{2E}{k}} obtém-se, após simplificações,
t - t_{0} = \pm \sqrt{\frac{m}{k}}\bigl(\arcsin\!\bigl(\tfrac{x(t)}{A}\bigr)-\arcsin\!\bigl(\tfrac{x_{0}}{A}\bigr)\bigr).
Invertendo essa relação chega-se à forma clássica
x(t)=A\sin\!\bigl(\pm \sqrt{\tfrac{k}{m}}(t-t_{0}) + \varphi\bigr),
onde \varphi=\arcsin(x_{0}/A). Ou seja, recupera-se o movimento harmônico simples com frequência \omega=\sqrt{k/m}.

Passo 8

Resumo rápido e dica para a prova: sempre comece escrevendo E=\tfrac{1}{2}mv^{2}+U(x), isole v, escreva v=dx/dt, separe variáveis e integre. Na prova, anote explicitamente o sinal escolhido e as condições iniciais; se pedirem x(t), dê a expressão em forma de integral e, quando possível, execute a integral para casos concretos.

Resposta

(a) v=\pm \sqrt{\dfrac{2}{m}\bigl(E-U(x)\bigr)}
(b) t-t_{0}=\pm \sqrt{\dfrac{m}{2}}\displaystyle\int_{x_{0}}^{x(t)}\dfrac{dx'}{\sqrt{E-U(x')}}

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