Exercício 07
Considere um sistema em que podemos escrever a energia mecânica
na forma:
(a) Mostre que a velocidade pode ser avaliada a partir da expressão:
(b) Mostre que a equação anterior pode ser integrada, permitindo a obtenção de uma expressão para descrever a posição
em função do tempo
.
Passo 1
O enunciado dá que a energia mecânica total pode ser escrita como
onde é entendido que
é a energia total do sistema (constante se não há perda/ganho de energia externamente),
é a energia cinética e
é a energia potencial. O exercício pede duas coisas:
(a) Mostrar que a velocidade pode ser obtida a partir de uma expressão envolvendo
e
.
(b) Mostrar que a expressão do item (a) pode ser integrada para obter uma relação que descreva a posição
em função do tempo
.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
-
é a massa da partícula (constante positiva). -
é a velocidade, função do tempo e em geral função de via . - A energia potencial é escrita como
, função conhecida (ou suposta dada) de . - A energia total
é um valor fixo determinado pela condição inicial.
Passo 2
Primeiro, lembrando as fórmulas básicas (essas são úteis na prova; anota aí):
- A energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade é
Explicação: essa fórmula vem da definição de trabalho necessário para acelerar a partícula;
mede a inércia e
é a rapidez.
- A energia potencial é escrita como
onde
é uma função que depende só da posição
. Exemplos:
(partícula livre),
(oscilador harmônico).
Substituindo essas expressões na conservação da energia temos a equação que vamos manipular.
Passo 3
Substituindo
e
na relação
obtemos
Agora isolamos
:
Multiplicando por
,
Tomando a raiz quadrada (atenção ao sinal),
Interpretação e observações importantes:
- O símbolo
corresponde à solução quando a partícula está se movendo no sentido crescente de (isto é, ); o símbolo quando o movimento é no sentido decrescente de . - A expressão só faz sentido classicamente quando
. Os pontos onde são pontos de virada (turning points): ali. - Esta é exatamente a resposta do item (a).
Passo 4
Para chegar em
usamos a relação entre velocidade e tempo:
Substituindo a expressão obtida para
(escolhendo explicitamente o sinal conforme o sentido do movimento) temos
Agora separamos variáveis para integrar: escrevemos
em função de
:
Aqui foi apenas um rearranjo algébrico: invertendo a velocidade e isolando
.
Passo 5
Integramos ambos os lados entre condições iniciais. Seja
o tempo inicial com posição
. Integramos de
até
no lado esquerdo e de
até
no lado direito:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, então obtemos a relação implícita
Esta é a forma geral que relaciona
e
. Em geral a integral depende da forma de
; salvo casos especiais, não é possível expressar
em forma elementar: o resultado dá
como função de
e, se for necessário, inversa-se essa relação para obter
.
Passo 6
Comentários práticos para a prova e entendimento:
- O sinal
deve ser escolhido conforme a direção do movimento (ou dividido por trechos do movimento, por exemplo entre duas viradas onde o sinal troca). - Os limites da integral
e a constante inicial permitem ajustar a condição inicial. - Os pontos onde
são extremos do movimento (turning points). Próximo a um turning point a integranda comporta-se como , que é integrável (o tempo para atingir o ponto de virada é finito). - Em muitos casos práticos a integral é avaliada por substituições adequadas ou tabelas (por ex. trigonométrica para polinômios quadráticos).
Passo 7
Dois exemplos curtos — veja como aplicar rapidamente na prova:
Exemplo 1 (partícula livre,
):
- A expressão de
dá , constante. - Integrando
resulta em
forma linear óbvia.
Exemplo 2 (oscilador harmônico,
):
- Temos
. - A integral dá
Fazendo a substituição
com
obtém-se, após simplificações,
Invertendo essa relação chega-se à forma clássica
onde
. Ou seja, recupera-se o movimento harmônico simples com frequência
.
Passo 8
Resumo rápido e dica para a prova: sempre comece escrevendo
, isole
, escreva
, separe variáveis e integre. Na prova, anote explicitamente o sinal escolhido e as condições iniciais; se pedirem
, dê a expressão em forma de integral e, quando possível, execute a integral para casos concretos.
Resposta
(a)
(b)