Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, \pi / 4)} \operatorname{sec} x \tan y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{sec} x \tan y.
  • Informações úteis que o enunciado dá (expressas explicitamente):
    • \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}, definida quando \cos x \neq 0.
    • \tan y = \dfrac{\sin y}{\cos y}, definida quando \cos y \neq 0.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,\pi/4). Note que \cos 0 = 1 \neq 0 e \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\neq 0. Portanto as duas funções têm sentido no ponto em questão.

Passo 2

Escolha do método (por que vou usar continuidade):
  • O enunciado não exige um método específico.
  • Temos uma função que é produto de funções elementares ( \operatorname{sec} x e \tan y). Um método natural e simples é usar o fato de que funções elementares (seno, cosseno, razões quando o denominador não é zero, produto) são contínuas onde estão bem definidas.
  • Esse método é o mais direto aqui: é mais simples do que fazer uma prova \varepsilon- \delta completa e é suficiente porque as funções envolvidas são compostas/quotientes de funções contínuas em pontos onde o denominador não anula.

Passo 3

Revisão didática do conceito que vou usar (continuidade e propriedades básicas):
  • Definição intuitiva de limite em \mathbb{R}^2: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L significa que, quando (x,y) se aproxima de (x_0,y_0) por qualquer caminho, os valores f(x,y) se aproximam de L.
  • Continuidade em um ponto: f é contínua em (x_0,y_0) se \displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0). Uma consequência prática: se g e h são contínuas em (x_0,y_0), então g\cdot h é contínua em (x_0,y_0). Se g é contínua e g(x_0,y_0)\neq 0, então 1/g é contínua em (x_0,y_0). Composição e soma também preservam continuidade.
  • Aplicação rápida: x\mapsto\cos x e y\mapsto\sin y são contínuas em todo lugar; portanto, quando o denominador (aqui \cos) não é zero no ponto, funções como \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y} são contínuas nas vizinhanças desse ponto.

Passo 4

Aplicando a propriedade de continuidade ao problema:
  • Primeiro avaliar as funções no ponto:
    • \operatorname{sec} 0 = \dfrac{1}{\cos 0} = \dfrac{1}{1} = 1.
    • \tan(\pi/4)=1 (pois \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}).
  • Como argumentado, \operatorname{sec} x é contínua em x=0 (porque \cos 0\neq 0) e \tan y é contínua em y=\pi/4 (porque \cos(\pi/4)\neq 0). O produto de duas funções contínuas é contínuo no ponto. Portanto a função (x,y)\mapsto \operatorname{sec} x \tan y é contínua em (0,\pi/4).
  • Por continuidade segue imediatamente que \lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{sec} x \tan y = \operatorname{sec} 0 \cdot \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 5

Cálculo explícito do valor do limite (passo a passo numérico):
  • Calculando cada fator: \operatorname{sec} 0 = 1, \qquad \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.
  • Produto: \operatorname{sec} 0 \cdot \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1\cdot 1=1.

Passo 6

Verificação por caminhos (confirmação extra, para ficar tranquilo):
  • Pelo caminho x=0, y\to \pi/4: \operatorname{sec} 0 \tan y \to 1\cdot 1=1.
  • Pelo caminho y=\pi/4, x\to 0: \operatorname{sec} x \tan(\pi/4)\to 1\cdot 1=1.
  • Qualquer outro caminho dará o mesmo por continuidade; isso confirma que não depende do caminho e o limite existe.

Resposta

1

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