Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se o limite
. - Informações úteis que o enunciado dá (expressas explicitamente):
-
, definida quando . -
, definida quando .
-
- O ponto de interesse é
. Note que e . Portanto as duas funções têm sentido no ponto em questão.
Passo 2
Escolha do método (por que vou usar continuidade):
- O enunciado não exige um método específico.
- Temos uma função que é produto de funções elementares (
e ). Um método natural e simples é usar o fato de que funções elementares (seno, cosseno, razões quando o denominador não é zero, produto) são contínuas onde estão bem definidas. - Esse método é o mais direto aqui: é mais simples do que fazer uma prova
- completa e é suficiente porque as funções envolvidas são compostas/quotientes de funções contínuas em pontos onde o denominador não anula.
Passo 3
Revisão didática do conceito que vou usar (continuidade e propriedades básicas):
- Definição intuitiva de limite em
: significa que, quando se aproxima de por qualquer caminho, os valores se aproximam de . - Continuidade em um ponto:
é contínua em se . Uma consequência prática: se e são contínuas em , então é contínua em . Se é contínua e , então é contínua em . Composição e soma também preservam continuidade. - Aplicação rápida:
e são contínuas em todo lugar; portanto, quando o denominador (aqui ) não é zero no ponto, funções como e são contínuas nas vizinhanças desse ponto.
Passo 4
Aplicando a propriedade de continuidade ao problema:
- Primeiro avaliar as funções no ponto:
-
. -
(pois ).
-
- Como argumentado,
é contínua em (porque ) e é contínua em (porque ). O produto de duas funções contínuas é contínuo no ponto. Portanto a função é contínua em . - Por continuidade segue imediatamente que
Passo 5
Cálculo explícito do valor do limite (passo a passo numérico):
- Calculando cada fator:
- Produto:
Passo 6
Verificação por caminhos (confirmação extra, para ficar tranquilo):
- Pelo caminho
, : . - Pelo caminho
, : . - Qualquer outro caminho dará o mesmo por continuidade; isso confirma que não depende do caminho e o limite existe.