Em cada um dos itens abaixo, determine os domínios máximos de f e g. Determine também as imagens de f e g. Verifique se a imagem de f está contida no domínio de g e, neste caso, encontre h=g \circ f. Encontre também a imagem de h.
(a) g(x)=3 x+1 e f(x)=x+2
(b) g(x)=2+x^{2} e f(x)=\sqrt{x}
(c) g(x)=\frac{1}{x} e f(x)=\frac{1}{x+1}
(d) g(x)=\frac{1}{x^{2}+1} e f(x)=\sqrt{x}
(e) g(x)=1-x^{2} e f(x)=\operatorname{sen}(x)
(f) g(x)=x^{3} e f(x)=\sqrt{x}
(g) g(x)=\ln (x) e f(x)=1-x^{2}
(h) g(x)=e^{x} e f(x)=\sqrt{1-x^{2}}
(i) Qual a definição do domínio de h=g \circ f ?
(j) Qual o domínio de h=g \circ f nos itens de (a) a (h)?

Passo 1

O enunciado pede, para cada par de funções f e g:
  1. Determinar o domínio máximo de f e de g.
  2. Determinar a imagem (conjunto-alvo) de f e de g.
  3. Verificar se \mathrm{Im}(f)\subseteq\mathrm{Dom}(g). Se sim, definir h=g\circ f e achar \mathrm{Im}(h).
    Depois, dar a definição geral de \mathrm{Dom}(h) e listar esse domínio nos casos (a) (h).
Para isso vamos usar:
  • Domínio de uma função é o conjunto de x nos reais para os quais a expressão está bem-definida.
  • Imagem de uma função é \{\,y\mid y=f(x),\,x\in\mathrm{Dom}(f)\}.
  • Para composição h=g\circ f convém ter f(x)\in\mathrm{Dom}(g).
  • Geralmente
\mathrm{Dom}(g\circ f)=\{\,x\in\mathrm{Dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{Dom}(g)\}\,.

Passo 2

Vamos aplicar essas definições a cada caso:

Passo 3

Caso (a): \;f(x)=x+2 e \;g(x)=3x+1. \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}. \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}.
Como \mathbb{R}=\mathrm{Im}(f)\subseteq\mathrm{Dom}(g),
h(x)=g(f(x))=3(x+2)+1=3x+7,\quad \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R},\quad \mathrm{Im}(h)=\mathbb{R}\,.

Passo 4

Caso (b): \;f(x)=\sqrt{x}, \mathrm{Dom}(f)=[0,\infty), \mathrm{Im}(f)=[0,\infty). \;g(x)=2+x^2, \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=[2,\infty). [0,\infty)\subseteq\mathbb{R}, logo
h(x)=2+(\sqrt{x})^2=2+x,\quad \mathrm{Dom}(h)=[0,\infty),\quad \mathrm{Im}(h)=[2,\infty)\,.

Passo 5

Caso (c): \;f(x)=\tfrac1{x+1}, \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}, \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \;g(x)=\tfrac1x, \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Como \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Dom}(g),
h(x)=\frac1{\,\tfrac1{x+1}\,}=x+1,\quad \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}\setminus\{-1\},\quad \mathrm{Im}(h)=\mathbb{R}\setminus\{0\}\,.

Passo 6

Caso (d): \;f(x)=\sqrt{x}, \mathrm{Dom}(f)=[0,\infty), \mathrm{Im}(f)=[0,\infty). \;g(x)=\tfrac1{x^2+1}, \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=(0,1].
Temos [0,\infty)\subseteq\mathbb{R}, então
h(x)=\frac1{(\sqrt{x})^2+1}=\frac1{x+1},\quad \mathrm{Dom}(h)=[0,\infty),\quad \mathrm{Im}(h)=(0,1]\,.

Passo 7

Caso (e): \;f(x)=\sin x, \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(f)=[-1,1]. \;g(x)=1-x^2, \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=(-\infty,1]. [-1,1]\subseteq\mathbb{R}, logo
h(x)=1-\sin^2x=\cos^2x,\quad \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R},\quad \mathrm{Im}(h)=[0,1]\,.

Passo 8

Caso (f): \;f(x)=\sqrt{x}, \mathrm{Dom}(f)=[0,\infty), \mathrm{Im}(f)=[0,\infty). \;g(x)=x^3, \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}. [0,\infty)\subseteq\mathbb{R}, então
h(x)=(\sqrt{x})^3=x^{3/2},\quad \mathrm{Dom}(h)=[0,\infty),\quad \mathrm{Im}(h)=[0,\infty)\,.

Passo 9

Caso (g): \;f(x)=1-x^2, \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(f)=(-\infty,1]. \;g(x)=\ln x, \mathrm{Dom}(g)=(0,\infty), \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}.
Como \mathrm{Im}(f)\not\subseteq(0,\infty), só faz sentido compor onde 1-x^2>0, isto é x^2<1.
\mathrm{Dom}(h)=(-1,1),\quad h(x)=\ln(1-x^2),\quad \mathrm{Im}(h)=(-\infty,0]\,.

Passo 10

Caso (h): \;f(x)=\sqrt{1-x^2}, \mathrm{Dom}(f)=[-1,1], \mathrm{Im}(f)=[0,1]. \;g(x)=e^x, \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=(0,\infty). [0,1]\subseteq\mathbb{R}, então
h(x)=e^{\sqrt{1-x^2}},\quad \mathrm{Dom}(h)=[-1,1],\quad \mathrm{Im}(h)=[1,e]\,.

Passo 11

Definição geral de domínio de h=g\circ f:
\mathrm{Dom}(g\circ f) =\bigl\{x\in\mathrm{Dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{Dom}(g)\bigr\}\,.

Passo 12

Domínios de h nos itens:
(a) \mathbb{R}
(b) [0,\infty)
(c) \mathbb{R}\setminus\{-1\}
(d) [0,\infty)
(e) \mathbb{R}
(f) [0,\infty)
(g) (-1,1)
(h) [-1,1]

Resposta

(a) \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}; \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}; \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(h)=\mathbb{R}.
(b) \mathrm{Dom}(f)=[0,\infty), \mathrm{Im}(f)=[0,\infty); \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=[2,\infty); \mathrm{Dom}(h)=[0,\infty), \mathrm{Im}(h)=[2,\infty).
(c) \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}, \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}; \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}; \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}, \mathrm{Im}(h)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
(d) \mathrm{Dom}(f)=[0,\infty), \mathrm{Im}(f)=[0,\infty); \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=(0,1]; \mathrm{Dom}(h)=[0,\infty), \mathrm{Im}(h)=(0,1].
(e) \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(f)=[-1,1]; \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=(-\infty,1]; \mathrm{Dom}(h)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(h)=[0,1].
(f) \mathrm{Dom}(f)=[0,\infty), \mathrm{Im}(f)=[0,\infty); \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}; \mathrm{Dom}(h)=[0,\infty), \mathrm{Im}(h)=[0,\infty).
(g) \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(f)=(-\infty,1]; \mathrm{Dom}(g)=(0,\infty), \mathrm{Im}(g)=\mathbb{R}; \mathrm{Dom}(h)=(-1,1), \mathrm{Im}(h)=(-\infty,0].
(h) \mathrm{Dom}(f)=[-1,1], \mathrm{Im}(f)=[0,1]; \mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}, \mathrm{Im}(g)=(0,\infty); \mathrm{Dom}(h)=[-1,1], \mathrm{Im}(h)=[1,e].
(i) \displaystyle \mathrm{Dom}(g\circ f)=\{\,x\in\mathrm{Dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{Dom}(g)\}.
(j)
Domínios de h em (a)–(h): \mathbb{R},\,[0,\infty),\,\mathbb{R}\setminus\{-1\},\,[0,\infty),\,\mathbb{R},\,[0,\infty),\,(-1,1),\,[-1,1].

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