Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
sumn=2^infty log nn

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=2^inftylog nn, que é um caso de série numérica. Vamos usar o teste da integral para determinar convergência ou divergência.

Passo 2

Definimos a função f(x)=log xx para x>=2. Primeiro, verificamos as condições do teste da integral: f é positiva para x>1 e, derivando,
f'(x)=1cdot x - (log x)cdot1x^2=1-log xx^2
Como log x>1 para x>e, temos f'(x)<0 em [e,infty), logo f é decrescente a partir de x=e<2. Assim, a condição de decrescimento em [2,infty) está atendida.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, avaliando
integral2^inftylog xx,dx
Fazendo a substituição u=log x (logo du=dx/x), obtemos
integral2^inftylog xx,dx=integrallog2^inftyu,du=u^22|log2^infty=infty
O integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como a integral imprópria diverge, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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