Esboce a superfície quádrica de equação
x^2+y^2-z^29=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a superfície quádrupla definida pela equação
x^2 + y^2 - z^29 = 1
Então, vamos trabalhar com superfícies quádricas, que são superfícies definidas por equações polinomiais de segundo grau em três variáveis. Para resolver, vamos identificar o tipo dessa superfície e entender suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de superfície quádra que temos. A equação geral das superfícies quádricas tem a forma:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
No nosso caso, a equação é:
x^2 + y^2 - z^29 = 1
Não há termos de produto cruzado (como $ xy $, $ xz $, etc.), então a superfície é uma superfície quádra normal.

Passo 3

Agora, vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos:
  • $ x^{2} $ tem coeficiente 1,
  • $ y^{2} $ tem coeficiente 1,
  • $ z^{2} $ tem coeficiente x^2 .
Como temos dois sinais positivos e um negativo, estamos diante de um ** hiperboloide de uma folha**. Esse tipo de superfície se parece com uma espécie de “sela infinita”, aberta em duas direções.

Passo 4

Para esboçar o hiperboloide de uma folha, é útil identificar suas interseções com os planos coordenados:
  1. Interseção com o plano $ z = 0 $:
    Substituindo $ z = 0 $ na equação, temos:
    z = 0
    Isso é um círculo de raio 1 no plano $ xy $.
  2. Interseções com planos horizontais $ z = k $:
    Substituindo $ z = k $, obtemos:
    z = 0
    Isso representa círculos com raio crescente à medida que $ |z| $ aumenta, indicando que a superfície se expande verticalmente.

Passo 5

Além disso, podemos notar que o eixo de simetria desse hiperboloide é o eixo $ z $, já que ele não aparece nos termos misturados. Isso significa que a superfície é simétrica em relação ao eixo $ z $.

Passo 6

Para finalizar o esboço, vamos resumir as características:
  • Forma geral: Hiperboloide de uma folha.
  • Eixo de simetria: Eixo $ z $.
  • Interseção com $ z = 0 $: Círculo de raio 1.
  • Círculos de maior raio para $ |z| $ maiores.

Resposta

A superfície quádra definida por $ x^{2} + y^{2} - \frac{z^{2}}{9} = 1 $ é um hiperboloide de uma folha, simétrico em relação ao eixo $ z $, com interseção no plano $ z = 0 $ formando um círculo de raio 1 e expandindo-se verticalmente conforme $ |z| $ aumenta. O esboço apresenta uma forma “sela” aberta nas duas direções ao longo do eixo $ z $.

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