Esboce a superfície quádrica de equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a superfície quádrupla definida pela equação
Então, vamos trabalhar com superfícies quádricas, que são superfícies definidas por equações polinomiais de segundo grau em três variáveis. Para resolver, vamos identificar o tipo dessa superfície e entender suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de superfície quádra que temos. A equação geral das superfícies quádricas tem a forma:
No nosso caso, a equação é:
Não há termos de produto cruzado (como $ xy $, $ xz $, etc.), então a superfície é uma superfície quádra normal.
Passo 3
Agora, vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos:
- $ x^{2} $ tem coeficiente 1,
- $ y^{2} $ tem coeficiente 1,
- $ z^{2} $ tem coeficiente
.
Como temos dois sinais positivos e um negativo, estamos diante de um ** hiperboloide de uma folha**. Esse tipo de superfície se parece com uma espécie de “sela infinita”, aberta em duas direções.
Passo 4
Para esboçar o hiperboloide de uma folha, é útil identificar suas interseções com os planos coordenados:
-
Interseção com o plano $ z = 0 $:
Substituindo $ z = 0 $ na equação, temos:Isso é um círculo de raio 1 no plano $ xy $. -
Interseções com planos horizontais $ z = k $:
Substituindo $ z = k $, obtemos:Isso representa círculos com raio crescente à medida que $ |z| $ aumenta, indicando que a superfície se expande verticalmente.
Passo 5
Além disso, podemos notar que o eixo de simetria desse hiperboloide é o eixo $ z $, já que ele não aparece nos termos misturados. Isso significa que a superfície é simétrica em relação ao eixo $ z $.
Passo 6
Para finalizar o esboço, vamos resumir as características:
- Forma geral: Hiperboloide de uma folha.
- Eixo de simetria: Eixo $ z $.
- Interseção com $ z = 0 $: Círculo de raio 1.
- Círculos de maior raio para $ |z| $ maiores.
Resposta
A superfície quádra definida por $ x^{2} + y^{2} - \frac{z^{2}}{9} = 1 $ é um hiperboloide de uma folha, simétrico em relação ao eixo $ z $, com interseção no plano $ z = 0 $ formando um círculo de raio 1 e expandindo-se verticalmente conforme $ |z| $ aumenta. O esboço apresenta uma forma “sela” aberta nas duas direções ao longo do eixo $ z $.