Em cada um dos itens abaixo, encontre o polinômio de Taylor de grau n da função f em torno de x_{0}.
f(x)=\sqrt[k]{x}, \quad k \in \mathbb{N}, \quad n=2, \quad x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=2 da função
f(x)=\sqrt[k]{x}=x^{\frac{1}{k}}
em torno de x_{0}=1. Para isso vamos usar a fórmula
T_{2}(x)=f(1)+f'(1)\,(x-1)+\frac{f''(1)}{2}\,(x-1)^{2}.

Passo 2

Calcular f(1).
f(1)=1^{\frac{1}{k}}=1.

Passo 3

Encontrar f'(x) e avaliar em x=1.
f'(x)=\frac{1}{k}\,x^{\frac{1}{k}-1},
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f'(1)=\frac{1}{k}\,1^{\frac{1}{k}-1}=\frac{1}{k}.

Passo 4

Calcular f''(x) e avaliar em x=1.
f''(x)=\frac{1}{k}\Bigl(\frac{1}{k}-1\Bigr)x^{\frac{1}{k}-2}
portanto
f''(1)=\frac{1}{k}\Bigl(\frac{1}{k}-1\Bigr)\,1^{\frac{1}{k}-2} =\frac{1}{k}\Bigl(\frac{1}{k}-1\Bigr) =\frac{1-k}{k^{2}}.

Passo 5

Substituir em
T_{2}(x)=1+\frac{1}{k}(x-1)+\frac{1}{2}\,\frac{1-k}{k^{2}}\,(x-1)^{2}.

Resposta

\boxed{T_{2}(x)=1+\frac{1}{k}\,(x-1)+\frac{1-k}{2\,k^{2}}\,(x-1)^{2}}.

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