Use a Regra de L’Hôpital para calcular limite da forma indeterminada
(a) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x(\ln (x))^{2}
(b) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}
(c) \lim _{x \rightarrow \infty}(\ln (x))^{\frac{1}{x}}
(d) \lim _{x \rightarrow \infty}(1+2 x)^{\frac{1}{2 \ln (x)}}}
(e) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}+1}{x+2}\right)^{\frac{1}{x}}
(f) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} x^{\frac{1}{1-x}}}
(g) \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)
(h) \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1-\cos (x)}-\frac{1}{x^{2}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular oito limites envolvendo formas indeterminadas que aparecem em expressões com produtos, potências e diferenças, usando preferencialmente a Regra de L’Hôpital ou expansões de séries quando mais conveniente. Vamos lidar com cada item separadamente, explicando como identificar a indeterminação, reescrever a expressão e aplicar a regra ou a expansão.
Passo 2
Para (a)
\lim_{x\to0^+} x \bigl(\ln(x)\bigr)^2.
Note que x\to0^+ e \ln(x)\to-\infty, logo temos 0\cdot\infty. Reescrevemos como quociente:
x \bigl(\ln(x)\bigr)^2 = \frac{(\ln(x))^2}{1/x},
onde numerador e denominador vão a +\infty. Aplicando L’Hôpital: