Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
(o) x^2 = 12(y - 6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação . O que a gente precisa fazer aqui é colocar essa equação na forma padrão, identificar de que tipo de curva estamos lidando, e depois fazer o gráfico dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especificamente completamento de quadrados e identificação de formas padrão de equações de parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma padrão. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar o termo . Para isso, vamos dividir ambos os lados por 12:
Agora, somamos 6 em ambos os lados para isolar :

Passo 3

Agora que temos a equação na forma , podemos comparar com a forma padrão de uma parábola vertical, que é:
Onde é o vértice da parábola e determina a abertura da parábola.

Passo 4

Comparando nossas equações, vemos que:
Isso significa que o vértice da parábola está no ponto , e como é positivo, a parábola abre para cima.

Passo 5

Agora, para classificar a curva: como temos uma equação quadrática em e a gráfica abre para cima, estamos lidando com uma parábola. Então, a equação representa uma parábola com vértice em que abre para cima.

Passo 6

Por último, vamos fazer o gráfico dessa parábola. Sabemos que o vértice é . Como , a parábola é relativamente “aberta”. Podemos traçar alguns pontos adicionais substituindo valores de e encontrando os correspondentes valores de .
Gráfico:
A parábola terá seu vértice em e abrirá para cima. Ela será simétrica em relação ao eixo .

Resposta

A equação na forma padrão é . Trata-se de uma parábola com vértice em que abre para cima.

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