Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\ y(0)=0, y^{\prime}(\pi)=0\end{array}
\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
y''+\lambda\,y=0,\quad y(0)=0,\;y'(\pi)=0,
procurando soluções não-triviais ou mostrando que só existe a solução trivial. Isso é um típico problema de autovalores (Sturm–Liouville) em que a existência de soluções não-triviais depende do parâmetro \lambda. Vamos estudar três casos: \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0.

Passo 2

Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A solução geral de
y''-\mu^2y=0
é
y(x)=C_{1}\,e^{\mu x}+C_{2}\,e^{-\mu x}.
Da condição y(0)=0 vem
C_{1}+C_{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y(x)=C\bigl(e^{\mu x}-e^{-\mu x}\bigr)=2C\,\operatorname{sinh}(\mu x).
Em seguida
y'(x)=2C\,\mu\operatorname{cosh}(\mu x),
logo a condição y'(\pi)=0 obriga C=0. Assim, para \lambda<0 só surge a solução trivial y\equiv0.

Passo 3

Caso \lambda=0. A equação vira
y''=0,
cuja solução geral é
y(x)=A\,x+B.
De y(0)=0 obtemos B=0, ou seja y(x)=A\,x. Então
y'(x)=A
e y'(\pi)=A=0 implica novamente A=0. Logo, para \lambda=0 também só há a solução trivial.

Passo 4

Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=\mu^2 com \mu>0. A solução geral de
y''+\mu^2y=0
é
y(x)=A\sin(\mu x)+B\cos(\mu x).
Da condição y(0)=0 segue B=0, então
y(x)=A\sin(\mu x), \qquad y'(x)=A\,\mu\cos(\mu x).
Impondo y'(\pi)=0
A\,\mu\cos(\mu\pi)=0.
Para ter solução não-trivial ( A\neq0) precisamos
\cos(\mu\pi)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mu\pi=\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
Escolhendo k\ge0 obtemos
\mu=\frac{2k+1}{2}, \qquad \lambda=\mu^2=\Bigl(\frac{2k+1}{2}\Bigr)^{2}, \quad k=0,1,2,\dots
e então as funções próprias são
y_{k}(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{2k+1}{2}x\Bigr),
cada uma não-trivial.

Resposta

Para \lambda<0 ou \lambda=0 só existe a solução trivial y\equiv0.
Para \lambda>0 há soluções não-triviais exatamente quando
\lambda_{k}=\Bigl(\tfrac{2k+1}{2}\Bigr)^{2},\quad k=0,1,2,\dots,
com funções próprias
y_{k}(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{2k+1}{2}x\Bigr).

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