Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\right.
\left{
\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
procurando soluções não-triviais ou mostrando que só existe a solução trivial. Isso é um típico problema de autovalores (Sturm–Liouville) em que a existência de soluções não-triviais depende do parâmetro
. Vamos estudar três casos:
,
e
.
Passo 2
Caso
. Escrevemos
com
. A solução geral de
é
Da condição
vem
Em seguida
logo a condição
obriga
. Assim, para
só surge a solução trivial
.
Passo 3
Caso
. A equação vira
cuja solução geral é
De
obtemos
, ou seja
. Então
e
implica novamente
. Logo, para
também só há a solução trivial.
Passo 4
Caso
. Escrevemos
com
. A solução geral de
é
Da condição
segue
, então
Impondo
dá
Para ter solução não-trivial (
) precisamos
Escolhendo
obtemos
e então as funções próprias são
cada uma não-trivial.
Resposta
Para
ou
só existe a solução trivial
.
Para há soluções não-triviais exatamente quando
Para
com funções próprias