Em cada um dos ítens abaixo, verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.
(x+y) d x+(x-y) d y

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial (x+y)\,dx+(x-y)\,dy e pede para verificar se ela é exata.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A forma é M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy com M(x,y)=x+y e N(x,y)=x-y.
  • Não foi dada restrição de domínio, então assumimos o domínio natural \mathbb{R}^2 (onde x,y variam livremente).

Passo 2

Definição e teste que vamos aplicar (explicado passo a passo):
Uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
d\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\,dy = M\,dx + N\,dy.
Isto significa que devemos ter
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N.
Um teste prático (válido quando M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado, como \mathbb{R}^2) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade vale em todo o domínio considerado, a forma é exata nesse domínio. Vou aplicar esse teste agora.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais necessárias:
  • Como M(x,y)=x+y, temos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
  • Como N(x,y)=x-y, temos
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.

Passo 4

Comparando os resultados: temos
\frac{\partial M}{\partial y}=1=\frac{\partial N}{\partial x}.
Como as derivadas parciais são contínuas e o domínio natural \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado, o teste garante que a forma é exata em \mathbb{R}^2. Ou seja, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi=(x+y)\,dx+(x-y)\,dy.

Passo 5

Agora vou encontrar explicitamente a função potencial \varphi(x,y) — isso é útil na prova porque prova concretamente a exatidão. Método passo a passo (procedimento padrão que você pode usar na prova):
  1. Integre M em relação a x mantendo y como constante:
\int M\,dx=\int (x+y)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+xy + h(y),
onde h(y) é uma função de y (constante de integração em relação a x) a ser determinada. Assim propomos
\varphi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+xy + h(y).
  1. Diferencie essa \varphi em relação a y e iguale a N:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x + h'(y) \overset{!}{=} N(x,y)=x-y.
  1. Da igualdade acima obtemos uma equação para h'(y):
h'(y)=-y.
  1. Integre em relação a y:
h(y)=-\frac{y^{2}}{2}+C,
onde C é constante real arbitrária.
5) Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+xy -\frac{y^{2}}{2}+C.
  1. (checagem rápida) Derivando \varphi obtemos
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y=M,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y=N,
logo bate perfeitamente com a forma dada.

Passo 6

Resumo prático para a prova (modo rápido): identifique M e N, calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x. Se forem iguais e o domínio for simplesmente conectado (por exemplo \mathbb{R}^2), a forma é exata. Se pedir, determine \varphi integrando M em x (ou N em y) e encontre a função complementar como fiz acima.

Resposta

A forma é exata. Uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+xy-\frac{y^{2}}{2}+C.

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