Em cada um dos ítens abaixo, verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
e pede para verificar se ela é exata.
Informações fornecidas que vamos usar:
Informações fornecidas que vamos usar:
- A forma é
com e . - Não foi dada restrição de domínio, então assumimos o domínio natural
(onde variam livremente).
Passo 2
Definição e teste que vamos aplicar (explicado passo a passo):
Uma forma diferencial é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma forma diferencial
Isto significa que devemos ter
Um teste prático (válido quando
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado, como
) é verificar se
Se essa igualdade vale em todo o domínio considerado, a forma é exata nesse domínio. Vou aplicar esse teste agora.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais necessárias:
- Como
, temos
- Como
, temos
Passo 4
Comparando os resultados: temos
Como as derivadas parciais são contínuas e o domínio natural
é simplesmente conectado, o teste garante que a forma é exata em
. Ou seja, existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Agora vou encontrar explicitamente a função potencial
— isso é útil na prova porque prova concretamente a exatidão. Método passo a passo (procedimento padrão que você pode usar na prova):
- Integre
em relação a mantendo como constante:
onde
é uma função de
(constante de integração em relação a
) a ser determinada. Assim propomos
- Diferencie essa
em relação a e iguale a :
- Da igualdade acima obtemos uma equação para
:
- Integre em relação a
:
onde
é constante real arbitrária.
5) Portanto uma função potencial é
5) Portanto uma função potencial é
- (checagem rápida) Derivando
obtemos
logo bate perfeitamente com a forma dada.
Passo 6
Resumo prático para a prova (modo rápido): identifique
e
, calcule
e
. Se forem iguais e o domínio for simplesmente conectado (por exemplo
), a forma é exata. Se pedir, determine
integrando
em
(ou
em
) e encontre a função complementar como fiz acima.
Resposta
A forma é exata. Uma função potencial é
.