Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma, sendo dados
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por vec{F}(x, y, z)=-y \vec{i}+x \vec{j}+z \vec{k}. Calcule o trabalho realizado por vec{F} no deslocamento da partícula de gamma(a) até gamma(b), sendo dados
gamma(t)=(\cos t, 0, \operatorname{sen} t), a=0 e b=2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula ao longo da curva \gamma desde \gamma(a) até \gamma(b). Dados importantes fornecidos:
\vec{F}(x,y,z) = -y\,\vec{i} + x\,\vec{j} + z\,\vec{k},
\gamma(t) = (\cos t,\,0,\,\sin t),\quad a=0,\quad b=2\pi.
A pergunta é: calcular \displaystyle\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\gamma para a parametrização dada e o intervalo t\in[0,2\pi].

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática (fórmula) que usamos na prova: se uma curva é dada por uma parametrização \gamma(t) com t\in[a,b], então a integral de linha de um campo vetorial \vec{F} ao longo de \gamma é
\displaystyle\int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\gamma = \int_{a}^{b} \vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt.
Explicando com calma: \vec{F}(\gamma(t)) é o campo avaliado no ponto da curva para cada t. A derivada \gamma'(t) é o vetor velocidade (taxa de variação das coordenadas) da partícula. A notação \cdot é o produto escalar entre vetores: se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3. Nosso plano de ataque: calcular \gamma'(t), calcular \vec{F}(\gamma(t)), formar o produto escalar e integrar de 0 a 2\pi.

Passo 3

Calculemos a derivada coordenada a coordenada de \gamma(t) = (\cos t,\,0,\,\sin t).
Derivando,
\gamma'(t) = (-\sin t,\,0,\,\cos t).
Aqui cada componente foi obtida derivando-se \cos t que dá -\sin t, 0 0, e \sin t \cos t.

Passo 4

Agora avaliamos o campo em cada ponto da curva, substituindo x=\cos t, y=0, z=\sin t em \vec{F}(x,y,z):
\vec{F}(\gamma(t)) = -0\,\vec{i} + (\cos t)\,\vec{j} + (\sin t)\,\vec{k} = (0,\,\cos t,\,\sin t).
Expliquei: a componente x do campo é -y e como y=0 ela vira 0; a componente y do campo é x que vira \cos t; a componente z do campo é z que vira \sin t.

Passo 5

Fazemos o produto escalar entre \vec{F}(\gamma(t)) e \gamma'(t). Tomando as componentes:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) = (0,\,\cos t,\,\sin t)\cdot(-\sin t,\,0,\,\cos t).
Calculando coordenada a coordenada e somando:
0\cdot(-\sin t) + \cos t\cdot 0 + \sin t\cdot \cos t = \sin t\cos t.
Portanto o integrando é \sin t\cos t.

Passo 6

Simplificamos a integral usando uma identidade trigonométrica útil: \sin(2t) = 2\sin t\cos t, então
\sin t\cos t = \tfrac{1}{2}\sin(2t).
Assim a integral de trabalho vira
\int_{0}^{2\pi} \sin t\cos t\,dt = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \sin(2t)\,dt.
Integramos \sin(2t): uma antiderivada é -\tfrac{1}{2}\cos(2t). Portanto
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \sin(2t)\,dt = \tfrac{1}{2}\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\Big]_{0}^{2\pi} = -\tfrac{1}{4}\big(\cos(4\pi)-\cos 0\big).

Passo 7

Avalie os cossenos: \cos(4\pi)=1 e \cos 0 = 1. Logo
-\tfrac{1}{4}\big(1-1\big) = -\tfrac{1}{4}\cdot 0 = 0.
Interpretação curta e encorajadora: o trabalho ao percorrer a curva fechada \gamma nesse campo, para essa parametrização, deu 0. Mesmo que o campo não seja conservativo globalmente (o rotor não é nulo), aqui a integral fechada específica é zero por simetria/periodicidade do integrando — e isso é suficiente para a prova.

Resposta

0

Exercícios relacionados