Calcule
, sendo dados
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados
e
.
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula ao longo da curva
desde
até
. Dados importantes fornecidos:
A pergunta é: calcular
para a parametrização dada e o intervalo
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática (fórmula) que usamos na prova: se uma curva é dada por uma parametrização
com
, então a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de
é
Explicando com calma:
é o campo avaliado no ponto da curva para cada
. A derivada
é o vetor velocidade (taxa de variação das coordenadas) da partícula. A notação
é o produto escalar entre vetores: se
e
, então
. Nosso plano de ataque: calcular
, calcular
, formar o produto escalar e integrar de
a
.
Passo 3
Calculemos a derivada coordenada a coordenada de
.
Derivando,
Derivando,
Aqui cada componente foi obtida derivando-se
que dá
,
dá
, e
dá
.
Passo 4
Agora avaliamos o campo em cada ponto da curva, substituindo
,
,
em
:
Expliquei: a componente
do campo é
e como
ela vira
; a componente
do campo é
que vira
; a componente
do campo é
que vira
.
Passo 5
Fazemos o produto escalar entre
e
. Tomando as componentes:
Calculando coordenada a coordenada e somando:
Portanto o integrando é
.
Passo 6
Simplificamos a integral usando uma identidade trigonométrica útil:
, então
Assim a integral de trabalho vira
Integramos
: uma antiderivada é
. Portanto
Passo 7
Avalie os cossenos:
e
. Logo
Interpretação curta e encorajadora: o trabalho ao percorrer a curva fechada
nesse campo, para essa parametrização, deu
. Mesmo que o campo não seja conservativo globalmente (o rotor não é nulo), aqui a integral fechada específica é zero por simetria/periodicidade do integrando — e isso é suficiente para a prova.