Para cada um dos itens abaixo, você pode selecionar Verdadeiro, Falso ou Não sei. Se você marcar incorretamente como Verdadeiro ou Falso, um de seus itens corretos será anulado. Se você marcar Não sei, não perde e nem ganha.
Em coordenadas polares em
\mathbb{R}^{2}, a equação \boldsymbol{r}=\mathbf{5} representa o disco (com o interior) de raio 5 com centro na origem.

Passo 1

O enunciado dá a informação: em coordenadas polares em \mathbb{R}^2 considera-se a equação \;r=5\; e afirma que ela representa o disco (com o interior) de raio 5 com centro na origem. A pergunta é decidir se essa afirmação é Verdadeira, Falsa ou Não sei.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação em coordenadas polares é \;r=5\;.
  • O enunciado diz que isso seria "o disco (com o interior) de raio 5" (ou seja, o conjunto de pontos com distância até a origem menor ou igual a 5).

Passo 2

Explicando o que são coordenadas polares e a variável r. Em coordenadas polares um ponto do plano é dado por dois números (r,\theta) onde:
r=\text{o comprimento do segmento do ponto até a origem (distância radial, normalmente }r\ge 0\text{)},éâ
\theta=\text{o ângulo medido a partir de um eixo de referência}.âê
A relação com coordenadas cartesianas é
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
e inversamente
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isso significa que r mede exatamente a distância do ponto à origem.

Passo 3

Interpretando a equação \;r=5\; usando a relação com coordenadas cartesianas. Substituindo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} obtemos a equação equivalente em (x,y):
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=25.
A equação x^{2}+y^{2}=25 descreve a circunferência de raio 5 centrada na origem — isto é, o conjunto de pontos cuja distância à origem é exatamente 5.

Passo 4

Definições claras e comparação com o termo “disco (com o interior)”:
  • O disco (fechado) de raio 5 centrado na origem é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}\le 25\},
ou, em coordenadas polares,
\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 5,\\ \theta\in\mathbb{R}\}.
  • O disco aberto corresponde a x^{2}+y^{2}<25 (ou 0\le r<5 em polares).
  • A circunferência (só a fronteira) é x^{2}+y^{2}=25 (ou r=5 em polares).

Passo 5

Comparando: a equação dada \;r=5\; impõe que a distância até a origem seja exatamente 5, não "até 5" nem "menor ou igual a 5". Portanto \;r=5\; corresponde à circunferência de raio 5, e não ao disco com interior. Se a intenção fosse o disco fechado, a equação em polares seria \;0\le r\le 5\; (ou a desigualdade r\le 5).

Passo 6

Exemplos concretos para fixar: o ponto com coordenadas cartesianas (3,4) tem r=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, logo ele satisfaz \;r=5\; e está na circunferência. Já o ponto (1,1) tem r=\sqrt{2} (<5), então ele pertence ao interior do disco mas não satisfaz \;r=5\;.

Resposta

Falso

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