Na transformação de variáveis x=u^{2} v^{6} e y=u^{3} v^{4}, o jacobiano
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right]
é igual a
-15 u^{4} v^{9}
-16 u^{4} v^{9}
-1 u^{4} v^{9}
-10 u^{4} v^{9}
-7 u^{4} v^{9}
◯ outro valor.

Passo 1

O enunciado dá a transformação
x = u^{2} v^{6},\qquad y = u^{3} v^{4},
e pede o jacobiano
\det\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix}.
Ou seja, temos que calcular as quatro derivadas parciais de x e y em relação a u e v e, em seguida, o determinante 2\times2 formado por elas.

Passo 2

O jacobiano, para duas variáveis, é a diferença entre o produto das diagonais do 2\times2. Em fórmulas:
\det J = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}.
Aqui vou aplicar a regra de potência para derivadas: se f(t)=t^{n} então f'(t)=n t^{n-1}. Também uso a regra do produto quando necessário (mas as funções dadas são monômios simples em u e v).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais uma a uma usando a regra da potência:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\big(u^{2}v^{6}\big)=2u\,v^{6},
\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}\big(u^{2}v^{6}\big)=6v^{5}\,u^{2}=6u^{2}v^{5},
\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\big(u^{3}v^{4}\big)=3u^{2}\,v^{4},
\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}\big(u^{3}v^{4}\big)=4v^{3}\,u^{3}=4u^{3}v^{3}.

Passo 4

Substituo essas derivadas na fórmula do determinante:
\det J=(2u v^{6})(4u^{3}v^{3})-(6u^{2}v^{5})(3u^{2}v^{4}).
Agora multiplico termo a termo e agrupo potências semelhantes:
(2\cdot4)u^{1+3}v^{6+3}-(6\cdot3)u^{2+2}v^{5+4} =8u^{4}v^{9}-18u^{4}v^{9}.
Fatorando u^{4}v^{9} e fazendo a subtração dos coeficientes:
\det J=(8-18)u^{4}v^{9}=-10\,u^{4}v^{9}.

Passo 5

Interpretação rápida e ânimo: o jacobiano negativo indica que a transformação inverte a orientação localmente (não precisa decorar isso agora, só bom saber). Você já fez a parte mais importante — derivar com calma e usar o determinante — e deu certinho. Vai dar certo na prova!

Resposta

-10 u^{4} v^{9}

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