Na transformação de variáveis
e
, o jacobiano
é igual a
◯
◯
◯
◯
◯
◯ outro valor.
◯
◯
◯
◯
◯
◯ outro valor.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede o jacobiano
Ou seja, temos que calcular as quatro derivadas parciais de
e
em relação a
e
e, em seguida, o determinante
formado por elas.
Passo 2
O jacobiano, para duas variáveis, é a diferença entre o produto das diagonais do
. Em fórmulas:
Aqui vou aplicar a regra de potência para derivadas: se
então
. Também uso a regra do produto quando necessário (mas as funções dadas são monômios simples em
e
).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais uma a uma usando a regra da potência:
Passo 4
Substituo essas derivadas na fórmula do determinante:
Agora multiplico termo a termo e agrupo potências semelhantes:
Fatorando
e fazendo a subtração dos coeficientes:
Passo 5
Interpretação rápida e ânimo: o jacobiano negativo indica que a transformação inverte a orientação localmente (não precisa decorar isso agora, só bom saber). Você já fez a parte mais importante — derivar com calma e usar o determinante — e deu certinho. Vai dar certo na prova!