[2,5 pontos] Um sistema LIT de tempo contínuo é representado pela resposta ao impulso
. Pede-se: (a) esboce
; (b) classifique o sistema quanto à estabilidade e causalidade; (c) determine a saída
do sistema para a entrada
. Utilize exclusivamente técnicas no domínio do tempo. Apresente todos os passos de resolução e justifique todas as respostas.
Passo 1
O enunciado dá a resposta ao impulso
e pede três coisas:
(a) esboçar ;
(b) classificar o sistema quanto à estabilidade e à causalidade;
(c) determinar a saída para a entrada
usando só técnicas no domínio do tempo.
(a) esboçar
(b) classificar o sistema quanto à estabilidade e à causalidade;
(c) determinar a saída
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é a função degrau unitário: para e para . -
é a função delta de Dirac, com a propriedade de amostragem. -
é a resposta ao impulso do sistema LTI (logo podemos usar convolução no tempo). - Não há outras imagens ou dados; tudo necessário está no enunciado acima.
Passo 2
Entendendo as operações de tempo que vamos usar (pequena aula):
- Substituir a variável por uma expressão (por exemplo
) exige aplicar essa mudança dentro de cada termo de . - Para o delta: regra de escala e translação é
Isto vem da propriedade
.
- Para o degrau:
muda o ponto em que a função “liga”. Se então e o degrau ocorre em . Se o sinal negativo inverte a região de ativação: será para à esquerda do ponto de mudança. - Convolução no tempo para LTI: saída é
Ao convovler com uma delta deslocada,
age como amostrador:
.
Passo 3
(a) Calcular
passo a passo substituindo
em cada termo de
.
Começando por substituir na parte exponencial:
Simplificando o expoente:
portanto o primeiro termo fica
Agora tratar a delta:
Aplicando a regra de escala da delta com
e
:
Sobre o degrau
: a condição
é equivalente a
. Então
que vale
para
e
para
.
Juntando tudo:
Passo 4
(a) — Observações para o esboço (como desenhar no caderno):
- A parte exponencial
está ativa apenas para . Para essa exponencial tende a ; ela cresce com (porque o coeficiente de no expoente é ) até atingir em o valor
- Para
a parte exponencial é zerada pelo degrau . - Há um impulso (delta) em
com peso . Note que nesse ponto a exponencial também tem um valor pequeno (mas o delta é “infinitamente alto” em sentido distribuicional com área ). - No esboço: desenhar uma curva exponencial baixa para
, crescendo rapidamente até o ponto , e zerar para . Colocar um eixo vertical no com uma seta vertical indicando o impulso de área .
Passo 5
(b) Classificação quanto à causalidade.
Definição (curta): um sistema LTI é causal se e somente se
para todo
. Isso quer dizer que o sistema não responde antes do estímulo.
Analisar
:
O primeiro termo tem fator
, que é
para
. Assim
é não nulo no intervalo
(pelo menos no subintervalo
existem valores não nulos). Em particular há valores de
para
(por exemplo
), logo
Passo 6
(b) Classificação quanto à estabilidade (BIBO).
Definição (curta): um sistema LTI é BIBO estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente integrável:
Calcular a integral de
(valor absoluto). Como os termos são não negativos (exponencial positiva e delta com massa positiva), podemos integrar diretamente:
Para o termo exponencial:
Fazendo mudança
,
vai de
a
:
Para o delta:
Somando:
Portanto
Passo 7
(c) Calcular
com
usando convolução no tempo.
Escreve-se
Substituir
e separar a integral em duas:
Tratar o termo com delta primeiro (mais simples):
pela propriedade de amostragem da delta.
Agora o termo exponencial. O produto de degraus impõe as condições de integração:
-
só para . -
só para .
Logo a região onde o integrando é não nulo é
. Se
essa região é vazia e a integral é zero. Portanto podemos escrever (para geral)
com a convenção de integral nula se
.
Fazer a integral: usar
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
válido quando
. Para
esse termo é
. Então podemos multiplicar por
para indicar a região de validade.
Somando com o termo da delta:
Passo 8
(c) — Colocar
em forma peça‑por‑peça (útil para esboço e para a prova):
- Para
: . - Para
: e , então
- Para
: e , então
Essas expressões são equivalentes à forma compacta dada acima e são práticas na hora de desenhar ou avaliar valores em instantes específicos.
Resposta
(a)
.
(b) O sistema é BIBO estável e não causal.
(c)
.