Para cada uma das matrizes abaixo
[lll1 & 2 & 4 2 & 4 & 8] [lll1 & 2 & 4 2 & 5 & 8] [ccc0 & -2 & 0 1 & 3 & 5 0 & 4 & -1] [cc1 & 0 0 & -1]
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.

Passo 1

O enunciado pede a nulidade de cada transformação linear associada às matrizes dadas, usando o Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema afirma que, para uma matriz de tamanho ,
Logo, para cada matriz basta calcular (o número de pivôs) e depois obter

Passo 2

Para
observamos que a segunda linha é o dobro da primeira, ou seja, são linhas dependentes. Assim
porque há apenas um pivô. Como tem colunas,

Passo 3

Para
fazemos a operação , obtendo
que tem dois pivôs. Logo
e, sendo ,

Passo 4

Para
calculamos o determinante para verificar invertibilidade:
Como , temos . Com ,

Passo 5

Para
vemos que é diagonal com entradas não nulas, logo invertível. Assim
e, como ,

Resposta

As nulidades são, na ordem dada:
2,;1,;0,;0.

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