Para cada uma das matrizes abaixo
(b) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, determine a nulidade da transformação linear associada à matriz.
Passo 1
O enunciado pede a nulidade de cada transformação linear associada às matrizes dadas, usando o Teorema do Núcleo e Imagem. Esse teorema afirma que, para uma matriz de tamanho ,
Logo, para cada matriz basta calcular (o número de pivôs) e depois obter
Passo 2
Para
observamos que a segunda linha é o dobro da primeira, ou seja, são linhas dependentes. Assim
porque há apenas um pivô. Como tem colunas,
Passo 3
Para
fazemos a operação , obtendo
que tem dois pivôs. Logo
e, sendo ,
Passo 4
Para
calculamos o determinante para verificar invertibilidade:
Como , temos . Com ,
Passo 5
Para
vemos que é diagonal com entradas não nulas, logo invertível. Assim