Para cada uma das matrizes abaixo, determine se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
C=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\ 0 & 1 & 1 \\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 1 \\[6pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela está em forma escalonada (REF), em forma escalonada reduzida (RREF) ou em nenhuma das duas.
Lembrando as definições:
Forma escalonada (REF):
  1. Todas as linhas-nulas (se houver) ficam abaixo das não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) vale 1.
  3. A posição do pivô de cada linha não nula está estritamente à direita do pivô da linha acima.
  4. Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros.
Forma escalonada reduzida (RREF):
É uma REF em que, além das condições acima, cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, acima e abaixo de cada pivô só há zeros).]

Passo 2

Verificando a forma escalonada (REF):
  • Linha 1: pivô em coluna 1 (valor 1).
  • Linha 2: pivô em coluna 2 (valor 1), que está à direita do pivô da linha 1 (ok).
  • Linha 3: primeiro elemento não nulo em coluna 1.
Problemas:
a) O pivô da linha 3 está na coluna 1, que não é à direita do pivô da linha 2 (que está na coluna 2).
b) Abaixo do pivô da linha 1 (que está em \;C_{11}) não há zero em C_{31}, pois C_{31}=1\neq0.
Portanto, C falha em duas condições de REF (posição dos pivôs e zeros abaixo), logo não está em forma escalonada.

Passo 3

Para ser forma escalonada reduzida (RREF) seria preciso, antes de tudo, ser REF. Como C já não é REF, ela também não pode ser RREF.

Resposta

A matriz C não está em forma escalonada nem em forma escalonada reduzida.

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