Para cada uma das matrizes abaixo, determine se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
D=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Vamos usar a definição de formas escalonadas para matrizes.

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz, em cada linha não nula, as seguintes condições:
  1. Toda linha de zeros aparece abaixo de qualquer linha não nula.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula fica sempre mais à direita que o pivot da linha anterior.

Passo 3

Uma matriz está em forma escalonada reduzida se, além de ser escalonada, satisfaz também:
  1. Cada pivot vale 1.
  2. Cada coluna que contém um pivot tem zeros em todas as outras entradas.

Passo 4

Identificamos os pivots de D:
  • Na primeira linha não nula, o primeiro não zero é D_{1,2}=1.
  • Na segunda linha não nula, o primeiro não zero é D_{2,3}=1.
  • A terceira linha é toda zero, fica abaixo das anteriores.
    Além disso, o pivot da segunda linha \text{coluna }3 está mais à direita que o pivot da primeira \text{coluna }2. Portanto, D satisfaz as condições de forma escalonada.

Passo 5

Para ser forma escalonada reduzida, precisaríamos ter zeros em todas as outras posições das colunas de pivot. Em particular, na coluna do primeiro pivot (coluna 2) já há zeros fora do pivot; mas na coluna do segundo pivot (coluna 3) existe o valor 2 em D_{1,3}\neq0. Logo, não satisfaz a condição de forma reduzida.

Resposta

A matriz D está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.

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