Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma forma escalonada, encontre os pivôs e determine o posto.
(a) A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ -2 & -3 & 2 \\\\ 1 & 4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ -2 & -3 & 2\\\\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}
e pede para obter uma forma escalonada (eliminação de Gauss), identificar os pivôs e calcular o posto (número de pivôs).

Passo 2

Começamos com o pivô a_{11}=1. Para zerar os elementos abaixo na coluna 1:
Linha 2 \to Linha 2+2\cdotLinha 1, dando
(-2+2\cdot1,\;-3+2\cdot2,\;2+2\cdot(-1)) = (0,1,0).
Linha 3 \to Linha 3 − Linha 1, dando
(1-1,\;4-2,\;5-(-1)) = (0,2,6).
Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

O pivô da segunda linha é a_{22}=1. Zeramos o elemento na terceira linha, mesma coluna:
Linha 3 \to Linha 3 − 2\cdotLinha 2, pois
(2-2\cdot1,\;6-2\cdot0) = (0,6).
Logo a forma escalonada final é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Os pivôs são os elementos não nulos na diagonal desta forma escalonada:
a_{11}=1,\quad a_{22}=1,\quad a_{33}=6.
Como há três pivôs, o posto de A é 3.

Resposta

A forma escalonada de A é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.
Os pivôs são 1, 1 e 6, e o posto de A é 3.

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