Considere as matrizes A=[3], B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 4 & -3\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 1 \\\\ -2 & -3 & 0\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 5 & -7 \\\\ -2 & 3 & 2\end{array}\right] e E= \left[\begin{array}{cccc}2 & 3 & -3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & -4\end{array}\right]. Calcule os determinantes abaixo.
(c) \operatorname{det}\text{(C)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz C de ordem 3, que é um exercício de determinante para matriz 3\times3. Vamos usar o método de Sarrus, que é o caminho mais direto nesse caso.

Passo 2

A matriz C é
C = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\[6pt] 2 & -4 & 1 \\[6pt] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}]

Passo 3

O método de Sarrus consiste em copiar as duas primeiras colunas à direita da matriz e somar o produto das três diagonais que descem da esquerda para a direita, depois subtrair o produto das três diagonais que descem da direita para a esquerda.

Passo 4

Somamos os produtos das diagonais principais:
(-3)\cdot(-4)\cdot0 \;+\; 2\cdot1\cdot(-2) \;+\; 1\cdot2\cdot(-3) = 0 \;-\;4 \;-\;6 = -10.

Passo 5

Somamos os produtos das diagonais secundárias:
1\cdot(-4)\cdot(-2) \;+\; (-3)\cdot1\cdot(-3) \;+\; 2\cdot2\cdot0 = 8 \;+\;9 \;+\;0 = 17.

Passo 6

Finalmente, subtraímos a soma das diagonais secundárias da soma das diagonais principais:
\det\text{(C)} = (-10) - 17 = -27.

Resposta

\det\text{(C)} = -27

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