Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma forma escalonada, encontre os pivôs e determine o posto.
(c) D=\left[\begin{array}{cccc}-2 & 3 & 1 & 4 \\\\ 1 & 2 & -1 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
D = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 & 4\\\\ 1 & 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}
e pede uma forma escalonada (row-echelon form), os pivôs (primeiro elemento não nulo de cada linha não nula) e o posto (número de pivôs). Para isso usaremos operações elementares de linha.

Passo 2

Vamos primeiro obter um pivô igual a 1 na primeira coluna trocando as linhas R_1 e R_2:
R_1 \leftrightarrow R_2 \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1\\\\ -2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos o -2 na entrada (2,1) somando 2 vezes a nova R_1 em R_2:
R_2 \leftarrow R_2 + 2\,R_1 \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1\\\\ 0 & 7 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Essa é uma forma escalonada de D.

Passo 4

Os pivôs são os primeiros elementos não nulos de cada linha:
– pivô em (1,1) vale 1,
– pivô em (2,2) vale 7.
O número de pivôs é 2, logo o posto de D é 2.

Resposta

Forma escalonada de D:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1\\\\ 0 & 7 & -1 & 2 \end{pmatrix}
Pivôs: o 1 em (1,1) e o 7 em (2,2).
Posto (D)=2.

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