Para cada uma das matrizes abaixo encontre todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} tais que \operatorname{det}(A-\lambda I)=0.
(b) A=\left[ \begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0
para a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de polinômio característico e determinação dos autovalores de uma matriz.

Passo 2

Formamos a matriz A-\lambda I:
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 0-\lambda & 0 & 2 \\\\ 0 & -1-\lambda & 0 \\\\ 2 & 0 & 0-\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 2 \\\\ 0 & -1-\lambda & 0 \\\\ 2 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante usando expansão pela segunda linha (único elemento não nulo é -1-\lambda na posição (2,2)):
\det(A-\lambda I) = (-1-\lambda)\,\det\!\begin{pmatrix} -\lambda & 2\\\\ 2 & -\lambda \end{pmatrix}.
O menor 2\times2 é
\det\begin{pmatrix} -\lambda & 2\\\\ 2 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda)-2\cdot2 =\lambda^2-4.

Passo 4

O polinômio característico fica
\det(A-\lambda I) =(\\ -1-\lambda)(\lambda^2-4).
Igualando a zero,
-1-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-1,
\lambda^2-4=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm2.

Resposta

\lambda=-2,\,-1,\,2

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