Para cada uma das matrizes encontre o autovalor dominante.
A=\left(\begin{array}{rr} -2 & 5 \\\\ 1 & -3 \end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das duas matrizes dadas, encontrar o autovalor dominante. As matrizes fornecidas são:
A_1=\begin{pmatrix}-2 & 5\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}, \qquad A_2=\begin{pmatrix}1 & 4 & 3\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & 2 & -1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • São duas matrizes reais, uma 2\times2 e uma 3\times3.
  • A tarefa é calcular os autovalores e, dentre eles, indicar o autovalor dominante (explicarei qual significado de “dominante” usei).]

Passo 2

O que é um autovalor e o que vou entender por “autovalor dominante”.
  • Um número \lambda é autovalor de uma matriz A se existe vetor não nulo v tal que A v=\lambda v.
  • Para encontrar autovalores usamos a equação característica
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade e \det é o determinante.
  • Aqui vou usar a definição comum de “autovalor dominante”: o autovalor cujo módulo (valor absoluto) é o maior entre todos os autovalores. Em notação, o dominante é o \lambda que maximiza |\lambda|. Essa noção é a usada, por exemplo, no método da potência.

Passo 3

Procedimento geral que vou aplicar (passo a passo, para você poder repetir na prova):
  • Formar A-\lambda I.
  • Calcular \det(A-\lambda I) e obter o polinômio característico p(\lambda).
  • Resolver p(\lambda)=0 (usar fórmula quadrática quando for grau 2; fatorar quando possível).
  • Calcular os módulos |\lambda| dos autovalores e escolher o maior.
Agora aplico isso às duas matrizes, com todos os detalhes.

Passo 4

Cálculo para A_1=\begin{pmatrix}-2 & 5\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}.
  1. Formo A_1-\lambda I:
A_1-\lambda I=\begin{pmatrix}-2-\lambda & 5\\[4pt]1 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
  1. Faço o determinante e igualo a zero:
\det(A_1-\lambda I)=(-2-\lambda)(-3-\lambda)-5\cdot1=0.
  1. Desenvolvo a expressão:
(-2-\lambda)(-3-\lambda)=\lambda^2+5\lambda+6,
portanto
\lambda^2+5\lambda+6-5=\lambda^2+5\lambda+1.
  1. O polinômio característico é
p_1(\lambda)=\lambda^2+5\lambda+1,
e temos que resolver p_1(\lambda)=0.
5) Uso a fórmula quadrática. Para a=1, b=5, c=1,
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{25-4}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}.
  1. Assim os autovalores são as duas raízes
\lambda_{1}^{(1)}=\frac{-5+\sqrt{21}}{2},\qquad \lambda_{2}^{(1)}=\frac{-5-\sqrt{21}}{2}.
  1. Faço aproximações (úteis para comparar módulos):
\lambda_{1}^{(1)}\approx-0,2087,\qquad \lambda_{2}^{(1)}\approx-4,7913.
  1. Os módulos são |\lambda_{1}^{(1)}|\approx0,2087 e |\lambda_{2}^{(1)}|\approx4,7913. O maior módulo é |\lambda_{2}^{(1)}|, logo o autovalor dominante de A_1 é
\boxed{\lambda_{2}^{(1)}=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}}.]

Passo 5

Comentário rápido útil na prova (atalho para matrizes 2\times2):
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, o polinômio é \lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc). Os autovalores são
\lambda=\frac{(a+d)\pm\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}}{2}.
Isso é equivalente ao que fiz acima (a soma das raízes é a traça a+d e o produto é o determinante ad-bc). Só uma dica para acelerar no exame.

Passo 6

Cálculo para A_2=\begin{pmatrix}1 & 4 & 3\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & 2 & -1\end{pmatrix}.
  1. Formo A_2-\lambda I:
A_2-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 4 & 3\\[4pt]0 & 3-\lambda & 1\\[4pt]0 & 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
  1. Para calcular \det(A_2-\lambda I) observo que a primeira coluna tem zeros nas posições (2,1) e (3,1). Nesse caso posso desenvolver o determinante pela primeira coluna, o que dá:
\det(A_2-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
(Os termos correspondentes às outras entradas da primeira coluna são zero.)
3) Calculo o determinante 2\times2 interno:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)-2\cdot1.
  1. Desenvolvo:
(3-\lambda)(-1-\lambda)=\lambda^2-2\lambda-3,
logo subtraindo 2:
\lambda^2-2\lambda-3-2=\lambda^2-2\lambda-5.
  1. Assim o polinômio característico é
p_2(\lambda)=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-5).
  1. As raízes são: da primeira fatoração vem \lambda=1. Da quadrática \lambda^2-2\lambda-5=0 uso a fórmula quadrática com a=1, b=-2, c=-5:
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{4+20}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{24}}{2} =1\pm\sqrt{6}.
  1. Portanto os três autovalores são
\lambda^{(2)}_1=1,\qquad \lambda^{(2)}_2=1+\sqrt{6},\qquad \lambda^{(2)}_3=1-\sqrt{6}.
  1. Aproximações:
\lambda^{(2)}_1=1,\qquad \lambda^{(2)}_2\approx3,4495,\qquad \lambda^{(2)}_3\approx-1,4495.
  1. Os módulos são |1|=1, |1+\sqrt{6}|\approx3,4495, |1-\sqrt{6}|\approx1,4495. O maior módulo é |1+\sqrt{6}|, então o autovalor dominante de A_2 é
\boxed{\lambda^{(2)}_2=1+\sqrt{6}}.]

Passo 7

Resumo final dos autovalores dominantes (já calculados acima):
  • Para A_1: \dfrac{-5-\sqrt{21}}{2} (é o que tem maior módulo, aproximadamente -4,7913).
  • Para A_2: 1+\sqrt{6} (aproximadamente 3,4495).

Resposta

\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}
1+\sqrt{6}

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