São duas matrizes reais, uma 2\times2 e uma 3\times3.
A tarefa é calcular os autovalores e, dentre eles, indicar o autovalor dominante (explicarei qual significado de “dominante” usei).]
Passo 2
O que é um autovalor e o que vou entender por “autovalor dominante”.
Um número \lambda é autovalor de uma matriz A se existe vetor não nulo v tal que A v=\lambda v.
Para encontrar autovalores usamos a equação característica
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade e \det é o determinante.
Aqui vou usar a definição comum de “autovalor dominante”: o autovalor cujo módulo (valor absoluto) é o maior entre todos os autovalores. Em notação, o dominante é o \lambda que maximiza |\lambda|. Essa noção é a usada, por exemplo, no método da potência.
Passo 3
Procedimento geral que vou aplicar (passo a passo, para você poder repetir na prova):
Formar A-\lambda I.
Calcular \det(A-\lambda I) e obter o polinômio característico p(\lambda).
Resolver p(\lambda)=0 (usar fórmula quadrática quando for grau 2; fatorar quando possível).
Calcular os módulos |\lambda| dos autovalores e escolher o maior.
Agora aplico isso às duas matrizes, com todos os detalhes.
Passo 4
Cálculo para A_1=\begin{pmatrix}-2 & 5\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}.
Os módulos são |\lambda_{1}^{(1)}|\approx0,2087 e |\lambda_{2}^{(1)}|\approx4,7913. O maior módulo é |\lambda_{2}^{(1)}|, logo o autovalor dominante de A_1 é
Para calcular \det(A_2-\lambda I) observo que a primeira coluna tem zeros nas posições (2,1) e (3,1). Nesse caso posso desenvolver o determinante pela primeira coluna, o que dá: