(a) Pelo método das potências calcule o auto-valor dominante de A e seu correspondente auto-vetor.
(b) Determine os demais auto-valores de A.
(c) Obtenha o auto-vetor correspondente ao auto-valor \lambda_{2}.
(d) Obtenha o polinômio característico de A e determine precisamente os autovalores de A.
e pede quatro coisas separadas:
(a) Pelo método das potências, encontrar o auto-valor dominante de A e seu auto-vetor correspondente.
(b) Determinar os demais auto-valores de A.
(c) Obter o auto-vetor correspondente ao auto-valor \lambda_{2}.
(d) Obter o polinômio característico de A e determinar precisamente os autovalores de A.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é explicitamente dada (mostrei acima).
Não foi dado vetor inicial para o método das potências, então escolherei um vetor inicial simples e comum (explico na sequência).
Preciso devolver autovalores e auto-vetores (direções, up to escala) e o polinômio característico (determinante de A-\lambda I).
Passo 2
Explicação didática do método das potências (para ser aplicado em (a)):
Objetivo do método das potências: aproximar o auto-vetor correspondente ao maior auto-valor em magnitude (o “dominante”) de uma matriz A.
Ideia básica: comece com um vetor inicial v^{(0)} não nulo e calcule iterativamente
onde \|\cdot\|_\infty é a norma máximo (normalização dividindo pelo maior valor absoluto do vetor) — essa normalização evita estouro e mantém os números em ordem de grandeza.
Interpretação: para matrizes diagonalizáveis com autovalores |\lambda_1|>|\lambda_2|\ge\cdots, o vetor v^{(k)} converge na direção do auto-vetor associado a \lambda_1. O fator de escala usado a cada iteração tende a \lambda_1.
Estimativa do auto-valor: quando v^{(k)} está quase alinhado ao auto-vetor dominante, uma boa estimativa para \lambda_1 é o quociente entre componentes correspondentes em w^{(k)} e v^{(k-1)} (ou simplesmente o fator de escala \|w^{(k)}\|_\infty usado na normalização).
Vou aplicar isso com um vetor inicial simples. Escolho
porque é fácil de calcular e geralmente tem componente na direção do auto-vetor dominante (se não, escolher outro vetor resolve; aqui vai funcionar rapidamente).]
Passo 3
Aplicando o método das potências passo a passo com normalização pela norma infinito:
Observação: já alcançámos uma direção fixa em uma iteração porque o vetor inicial tinha as duas primeiras componentes iguais, o que alinhou diretamente com a estrutura do auto-vetor dominante. Em geral pode demorar mais iterações, mas o procedimento é o mesmo.]
Passo 4
Interpretação dos resultados do método das potências:
Vimos que A v^{(1)} = w^{(2)} = 8\,v^{(1)}. Portanto v^{(1)} é um auto-vetor exato e 8 é o auto-valor associado.
que, multiplicado por 4 para ficar com entradas inteiras, é proporcional a
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Explicando: auto-vetores são definidos até constante multiplicativa; tanto faz (1,1,4)^{T} ou (1/4,1/4,1)^{T}.
Portanto a resposta de (a) é: auto-valor dominante \lambda_1=8 com auto-vetor correspondente proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora vamos determinar os demais autovalores (item (b)) e o polinômio característico (item (d)). Para isso calculamos o determinante de A-\lambda I.
O trinômio fatoriza como \lambda^2-10\lambda+16=(\lambda-2)(\lambda-8). Assim
p(\lambda)=-\lambda(\lambda-2)(\lambda-8).
Observação: multiplicar p(\lambda) por -1 dá \lambda(\lambda-2)(\lambda-8); o que importa são as raízes (autovalores).]
Passo 6
Encontrando explicitamente as raízes do polinômio:
Das fatorizações obtidas, as soluções de p(\lambda)=0 são
\lambda=0,\qquad \lambda=2,\qquad \lambda=8.
Já tínhamos identificado \lambda_1=8 (dominante). Portanto os demais autovalores (resposta de (b)) são \lambda=2 e \lambda=0.
Passo 7
Agora obter o auto-vetor correspondente a [\lambda_{2}). Pelo enunciado \lambda_2 normalmente indica um dos outros autovalores; vou assumir que \lambda_{2}=2 (é o valor intermediário). Vamos resolver (A-2I)x=0 passo a passo.
Escolhendo x_3=2\] para eliminar frações (pode escolher qualquer escala), obtemos
\[x_1=-1,\quad x_2=5,\quad x_3=2.\]
Logo um auto-vetor associado a \(\lambda_2=2 é
\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
(qualquer múltiplo escalar deste também é auto-vetor).]
Passo 8
Só para completar (não pedido explicitamente, mas útil pedagogicamente), o auto-vetor para [\lambda=0) resolve A x=0. Resolvendo rapidamente:
Somando as duas obtemos 4 x_3 = 0\Rightarrow x_3=0\]. Com \(x_3=0 temos x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Assim um auto-vetor correspondente a \lambda=0 é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]
Resposta
(a) \lambda_{1}=8, auto-vetor correspondente (proporcional a) \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
(b) Os demais autovalores são \lambda=2 e \lambda=0.
(c) Para \lambda_{2}=2 um auto-vetor é \begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
(d) O polinômio característico é \displaystyle p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+10\lambda^{2}-16\lambda=-\lambda(\lambda-2)(\lambda-8). Os autovalores precisos são \lambda=0,\\\ 2,\\\ 8.]