Considere a matriz:
A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 8 \end{array}\right)
(a) Pelo método das potências calcule o auto-valor dominante de A e seu correspondente auto-vetor.
(b) Determine os demais auto-valores de A.
(c) Obtenha o auto-vetor correspondente ao auto-valor \lambda_{2}.
(d) Obtenha o polinômio característico de A e determine precisamente os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 8 \end{pmatrix}
e pede quatro coisas separadas:
(a) Pelo método das potências, encontrar o auto-valor dominante de A e seu auto-vetor correspondente.
(b) Determinar os demais auto-valores de A.
(c) Obter o auto-vetor correspondente ao auto-valor \lambda_{2}.
(d) Obter o polinômio característico de A e determinar precisamente os autovalores de A.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é explicitamente dada (mostrei acima).
  • Não foi dado vetor inicial para o método das potências, então escolherei um vetor inicial simples e comum (explico na sequência).
  • Preciso devolver autovalores e auto-vetores (direções, up to escala) e o polinômio característico (determinante de A-\lambda I).

Passo 2

Explicação didática do método das potências (para ser aplicado em (a)):
  • Objetivo do método das potências: aproximar o auto-vetor correspondente ao maior auto-valor em magnitude (o “dominante”) de uma matriz A.
  • Ideia básica: comece com um vetor inicial v^{(0)} não nulo e calcule iterativamente
w^{(k)} = A\,v^{(k-1)},\qquad v^{(k)}=\frac{w^{(k)}}{\|w^{(k)}\|_\infty},
onde \|\cdot\|_\infty é a norma máximo (normalização dividindo pelo maior valor absoluto do vetor) — essa normalização evita estouro e mantém os números em ordem de grandeza.
  • Interpretação: para matrizes diagonalizáveis com autovalores |\lambda_1|>|\lambda_2|\ge\cdots, o vetor v^{(k)} converge na direção do auto-vetor associado a \lambda_1. O fator de escala usado a cada iteração tende a \lambda_1.
  • Estimativa do auto-valor: quando v^{(k)} está quase alinhado ao auto-vetor dominante, uma boa estimativa para \lambda_1 é o quociente entre componentes correspondentes em w^{(k)} e v^{(k-1)} (ou simplesmente o fator de escala \|w^{(k)}\|_\infty usado na normalização).
Vou aplicar isso com um vetor inicial simples. Escolho
v^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
porque é fácil de calcular e geralmente tem componente na direção do auto-vetor dominante (se não, escolher outro vetor resolve; aqui vai funcionar rapidamente).]

Passo 3

Aplicando o método das potências passo a passo com normalização pela norma infinito:
  1. Iteração k=1:
w^{(1)} = A v^{(0)} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente:
  • Primeira linha: 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 2\cdot1 = 1-1+2 = 2.
  • Segunda linha: -1\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot1 = -1+1+2 = 2.
  • Terceira linha: 2\cdot1 + (-2)\cdot1 + 8\cdot1 = 2-2+8 = 8.
Logo
w^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]8\end{pmatrix}.
A norma infinito é \|w^{(1)}\|_\infty = 8. Normalizando:
v^{(1)}=\frac{w^{(1)}}{8}=\begin{pmatrix}2/8\\[4pt]2/8\\[4pt]8/8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/4\\[4pt]1/4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  1. Iteração k=2:
w^{(2)} = A v^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/4\\[4pt]1/4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calcule:
  • Primeira: 1\cdot\frac{1}{4} + (-1)\cdot\frac{1}{4} + 2\cdot1 = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2 = 2.
  • Segunda: -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 2 = 2.
  • Terceira: 2\cdot\frac{1}{4} -2\cdot\frac{1}{4} +8\cdot1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}+8 = 8.
Então
w^{(2)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]2\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Novamente \|w^{(2)}\|_\infty=8 e
v^{(2)}=\frac{w^{(2)}}{8}=\begin{pmatrix}1/4\\[4pt]1/4\\[4pt]1\end{pmatrix}=v^{(1)}.
Observação: já alcançámos uma direção fixa em uma iteração porque o vetor inicial tinha as duas primeiras componentes iguais, o que alinhou diretamente com a estrutura do auto-vetor dominante. Em geral pode demorar mais iterações, mas o procedimento é o mesmo.]

Passo 4

Interpretação dos resultados do método das potências:
  • Vimos que A v^{(1)} = w^{(2)} = 8\,v^{(1)}. Portanto v^{(1)} é um auto-vetor exato e 8 é o auto-valor associado.
  • Assim, o auto-valor dominante é \lambda_1=8.
  • O auto-vetor encontrado (direção) é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1/4\\[4pt]1/4\\[4pt]1\end{pmatrix},
que, multiplicado por 4 para ficar com entradas inteiras, é proporcional a
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Explicando: auto-vetores são definidos até constante multiplicativa; tanto faz (1,1,4)^{T} ou (1/4,1/4,1)^{T}.
Portanto a resposta de (a) é: auto-valor dominante \lambda_1=8 com auto-vetor correspondente proporcional a \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vamos determinar os demais autovalores (item (b)) e o polinômio característico (item (d)). Para isso calculamos o determinante de A-\lambda I.
Escrevendo
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & 2 \\\\ -1 & 1-\lambda & 2 \\\\ 2 & -2 & 8-\lambda \end{pmatrix},
o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Calculemos o determinante expandindo pela primeira linha (faço passo a passo):
  • Primeiro menor (côef. 1-\lambda):
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\[4pt]-2 & 8-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(8-\lambda)-2(-2)=(1-\lambda)(8-\lambda)+4.
  • Segundo menor (côef. -1 com sinal trocado ao expandir):
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & 8-\lambda\end{pmatrix} =(-1)(8-\lambda)-2\cdot2=-(8-\lambda)-4=\lambda-12.
  • Terceiro menor (côef. 2):
\det\begin{pmatrix}-1 & 1-\lambda\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix} =(-1)(-2)-(1-\lambda)2=2-2(1-\lambda)=2-2+2\lambda=2\lambda.
Agora combine:
\begin{aligned} p(\lambda) &=(1-\lambda)\big[(1-\lambda)(8-\lambda)+4\big] -(-1)\,(\lambda-12) + 2\,(2\lambda)\\[4pt] &=(1-\lambda)\big(8-9\lambda+\lambda^2+4\big) + (\lambda-12) +4\lambda\\[4pt] &=(1-\lambda)\big(12-9\lambda+\lambda^2\big)+5\lambda-12. \end{aligned}
Multiplicando e simplificando (faço os termos de forma explícita):
(1-\lambda)(12-9\lambda+\lambda^2)=12-21\lambda+10\lambda^2-\lambda^3.
Somando 5\lambda-12 obtemos
p(\lambda)=12-21\lambda+10\lambda^2-\lambda^3 +5\lambda-12 = -\lambda^3+10\lambda^2-16\lambda.
Fatorando:
p(\lambda)=-\lambda\big(\lambda^2-10\lambda+16\big).
O trinômio fatoriza como \lambda^2-10\lambda+16=(\lambda-2)(\lambda-8). Assim
p(\lambda)=-\lambda(\lambda-2)(\lambda-8).
Observação: multiplicar p(\lambda) por -1 \lambda(\lambda-2)(\lambda-8); o que importa são as raízes (autovalores).]

Passo 6

Encontrando explicitamente as raízes do polinômio:
Das fatorizações obtidas, as soluções de p(\lambda)=0 são
\lambda=0,\qquad \lambda=2,\qquad \lambda=8.
Já tínhamos identificado \lambda_1=8 (dominante). Portanto os demais autovalores (resposta de (b)) são \lambda=2 e \lambda=0.

Passo 7

Agora obter o auto-vetor correspondente a [\lambda_{2}). Pelo enunciado \lambda_2 normalmente indica um dos outros autovalores; vou assumir que \lambda_{2}=2 (é o valor intermediário). Vamos resolver (A-2I)x=0 passo a passo.
Escreva
A-2I = \begin{pmatrix} 1-2 & -1 & 2 \\\\ -1 & 1-2 & 2 \\\\ 2 & -2 & 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\\\ -1 & -1 & 2 \\\\ 2 & -2 & 6 \end{pmatrix}.
Se x=(x_1,x_2,x_3)^T satisfaz (A-2I)x=0, as equações são:
\begin{cases} - x_1 - x_2 + 2 x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 - x_2 + 2 x_3 = 0\quad(\text{mesma que a anterior}),\\[4pt] 2 x_1 -2 x_2 +6 x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação:
x_1 = -x_2 + 2 x_3.
Substituindo na terceira equação:
2(-x_2+2x_3)-2x_2+6x_3=0
-2x_2+4x_3-2x_2+6x_3=0
-4x_2+10x_3=0 \quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{10}{4}x_3=\frac{5}{2}x_3.
Então
x_1 = -\frac{5}{2}x_3 + 2x_3 = -\frac{1}{2}x_3.
Escolhendo x_3=2\] para eliminar frações (pode escolher qualquer escala), obtemos \[x_1=-1,\quad x_2=5,\quad x_3=2.\] Logo um auto-vetor associado a \(\lambda_2=2 é
\begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
(qualquer múltiplo escalar deste também é auto-vetor).]

Passo 8

Só para completar (não pedido explicitamente, mas útil pedagogicamente), o auto-vetor para [\lambda=0) resolve A x=0. Resolvendo rapidamente:
Equações de A x=0:
\begin{cases} x_1 - x_2 + 2 x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 + x_2 + 2 x_3 = 0. \end{cases}
Somando as duas obtemos 4 x_3 = 0\Rightarrow x_3=0\]. Com \(x_3=0 temos x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Assim um auto-vetor correspondente a \lambda=0 é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \lambda_{1}=8, auto-vetor correspondente (proporcional a) \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
(b) Os demais autovalores são \lambda=2 e \lambda=0.
(c) Para \lambda_{2}=2 um auto-vetor é \begin{pmatrix}-1\\[4pt]5\\[4pt]2\end{pmatrix}.
(d) O polinômio característico é \displaystyle p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+10\lambda^{2}-16\lambda=-\lambda(\lambda-2)(\lambda-8). Os autovalores precisos são \lambda=0,\\\ 2,\\\ 8.]

Exercícios relacionados