Para cada um dos mecanismos reacionais a seguir, determine os perfis de concentração para todas as espécies envolvidas em um reator batelada. Todas as etapas elementares são de primeira ordem. Para fins de cálculo, assuma k1=1 min^-1, k2=1,5 min ^-1, k-1=1,3 min ^-1 e k-2=1,2 min ^-1.
A xrightarrowk1 b B
b B xrightarrowk-1 A
A xrightarrowk2 p P
p P xrightarrowk-2 A

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um reator batelada com algumas reações acontecendo, todas de primeira ordem. O que precisamos é encontrar como as concentrações de cada espécie química vão variar ao longo do tempo nesse reator. Para isso, vamos precisar usar as taxas de reação dadas: k1=1 , min^-1, k2=1,5 , min^-1, k-1=1,3 , min^-1 e k-2=1,2 , min^-1. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as espécies envolvidas nas reações:
  1. $ A $
  2. $ B $
  3. $ P $
Agora, vamos escrever as equações das reações:
  • $ A \xrightarrow{k_{1}} b , B $
  • $ b , B \xrightarrow{k_{-1}} A $
  • $ A \xrightarrow{k_{2}} p , P $
  • $ p , P \xrightarrow{k_{-2}} A $

Passo 3

Vamos usar a lei das velocidades para cada reação. Como todas são de primeira ordem, a velocidade depende apenas da concentração do reagente.
Para a primeira reação $ A \xrightarrow{k_{1}} b , B $:
A xrightarrowk1 b , B
Para a segunda reação $ b , B \xrightarrow{k_{-1}} A $:
Velocidade = k1 [A]
Para a terceira reação $ A \xrightarrow{k_{2}} p , P $:
b , B xrightarrowk-1 A
Para a quarta reação $ p , P \xrightarrow{k_{-2}} A $:
Velocidade = k-1 [B]

Passo 4

Agora, vamos montar as equações diferenciais que descrevem a variação das concentrações ao longo do tempo. Vamos considerar que o volume do reator é constante, já que é um reator batelada.
Para a espécie $ A $:
A concentração de $ A $ diminui com as reações que a consomem e aumenta com as reações que a produzem.
A
Para a espécie $ B $:
A concentração de $ B $ é produzida pela primeira reação e consumida pela segunda.
A
Para a espécie $ P $:
A concentração de $ P $ é produzida pela terceira reação e consumida pela quarta.
d[A]dt = -k1 [A] - k2 [A] + k-1 [B] + k-2 [P]

Passo 5

Vamos resolver essas equações diferenciais. Para simplificar, vamos supor que inicialmente temos apenas $ A $ no reator, ou seja, $ [A]_0 = A_0 $, e $ [B]_0 = 0 $, $ [P]_0 = 0 $.
Primeiro, observamos que as equações para $ B $ e $ P $ são lineares e podem ser resolvidas separadamente se conhecermos $ A $.
A equação para $ [A] $ é:
A
Mas como $ [B] $ e $ [P] $ também dependem de $ [A] $, precisamos resolver o sistema de equações simultaneamente. Isso geralmente requer métodos avançados ou ferramentas computacionais, mas podemos passar por uma solução aproximada ou assumir condições de equilíbrio para simplificação.

Passo 6

Para facilitar, vamos assumir que atingimos o equilíbrio rápido para as reações reversíveis, ou seja, as taxas de formação e de decomposição de $ B $ e $ P $ se equilibram rapidamente.
Então, no equilíbrio:
B
P

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação para $ \frac{d[A]}{dt} $:
d[A]dt
Simplificando:
d[A]dt = -(k1 + k2) [A] + k-1 ( k1k-1 [A] ) + k-2 ( k2k-2 [A] )
d[A]dt = -(k1 + k2) [A] + k1 [A] + k2 [A]
Isso significa que a concentração de $ A $ permanece constante, o que indica que assumimos equilíbrio instantâneo para todas as reações. Portanto, as concentrações de $ B $ e $ P $ também permanecem constantes após o equilíbrio inicial.

Passo 8

Então, as concentrações em função do tempo são:
[A] (t) = [A]0
[B] (t) = k1k-1 [A]0
[P] (t) = k2k-2 [A]0
Isso significa que, após o equilíbrio, as concentrações não mudam mais com o tempo.

Resposta

As concentrações das espécies no reator batelada são constantes ao longo do tempo e dadas por:
[A] (t) = [A]0
[B] (t) = k1k-1 [A]0 = 11,3 [A]0 approx 0,769 , [A]0
[P] (t) = k2k-2 [A]0 = 1,51,2 [A]0 = 1,25 , [A]0

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