Para cada um dos mecanismos reacionais a seguir, determine os perfis de concentração para todas as espécies envolvidas em um reator batelada. Todas as etapas elementares são de primeira ordem. Para fins de cálculo, assuma k1=1 min^-1, k2=1,5 min ^-1, k-1=1,3 min ^-1 e k-2=1,2 min ^-1.
A xrightarrowk1 b B
A xrightarrowk2 p P
b B xrightarrowk-1 A

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre reação química em um reator batelada. O objetivo é determinar como as concentrações das diferentes espécies químicas mudam ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar cinética química, que estuda a velocidade das reações e como as concentrações dos reagentes e produtos variam. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as reações que estão acontecendo:
  1. A se transforma em b B, com a constante de velocidade $ k_1 = 1 , min^{-1} $.
  2. A se transforma em p P, com a constante de velocidade $ k_2 = 1,5 , min^{-1} $.
  3. b B se transforma de volta em A, com a constante de velocidade reversa $ k_{-1} = 1,3 , min^{-1} $.
Essas são reações de primeira ordem, o que significa que a velocidade de cada reação depende apenas da concentração de um reagente.

Passo 3

Vamos definir as concentrações das espécies químicas:
  • [A](t): concentração de A no tempo t
  • [B](t): concentração de B no tempo t
  • [P](t): concentração de P no tempo t
Nos reatores batelada, não há fluxo de entrada ou saída durante a reação; então, a quantidade total de matéria é conservada.

Passo 4

Agora, vamos estabelecer as equações diferenciais que descrevem como as concentrações mudam ao longo do tempo.
Para a espécie A:
d[A]dt = -k1 [A] - k2 [A] + k-1 [B]
Aqui, A é consumido pelas reações 1 e 2, e regenerado pela reação reversa 3.
Para a espécie B:
d[B]dt = k1 [A] - k-1 [B]
B é formado na reação 1 e consumido na reação reversa 3.
Para a espécie P:
d[P]dt = k2 [A]
P é formado apenas na reação 2.

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, resolvemos para P porque é uma equação simples e independente.
Integrando d[P]dt = k2 [A], mas precisamos de [A] em função do tempo.
Mas, para simplificar, vamos primeiro resolver para A e B.

Passo 6

Considerando que d[A]dt = -(k1 + k2)[A] + k-1[B] e d[B]dt = k1 [A] - k-1 [B], temos um sistema de equações lineares.

Podemos reescrever o sistema na forma matricial:
$$
\frac{d}{dt}
ddt [A] [B] = -(k1 + k2) & k-1 k1 & -k-1 [A] [B]


$$

Passo 7

Para resolver, vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz, o que nos permitirá expressar A e B como combinações de exponenciais.
Calculando o determinante:
lambda^2 + (k1 + k2 + k-1)lambda + k-1(k1 + k2) - k1 k-1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para lambda:
Simplificando e substituindo os valores dados:
lambda = -(k1 + k2 + k-1) pm raiz(k1 + k2 + k-1)^2 - 4(k-1(k1 + k2) - k1 k-1)2

Passo 8

Substituindo os valores:
lambda = -(1 + 1,5 + 1,3) pm raiz(1 + 1,5 + 1,3)^2 - 4(1,3(1 + 1,5) - 1 times 1,3)2
Calculando passo a passo:
1 + 1,5 + 1,3 = 3,8
1,3(1 + 1,5) = 1,3 times 2,5 = 3,25
3,8^2 = 14,44
4(3,25 - 1,3) = 4 times 1,95 = 7,8
raiz14,44 - 7,8 = raiz6,64 approx 2,58
Então,
lambda = -3,8 pm 2,582
Portanto,
lambda1 = -3,8 + 2,582 = -1,222 = -0,61 , min^-1
lambda2 = -3,8 - 2,582 = -6,382 = -3,19 , min^-1

Passo 9

Com os autovalores lambda1 = -0,61 , min^-1 e lambda2 = -3,19 , min^-1, podemos escrever as soluções para A e B como:
[A](t) = C1 e^-0,61 t + C2 e^-3,19 t
[B](t) = D1 e^-0,61 t + D2 e^-3,19 t
Onde C1, C2, D1, e D2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 10

Assumindo que no tempo inicial t = 0:
  • [A](0) = A0
  • [B](0) = 0
  • [P](0) = 0
Aplicando essas condições nas equações:
A0 = C1 + C2
0 = D1 + D2
Além disso, derivando B e igualando às equações diferenciais, podemos relacionar as constantes.

Passo 11

Após resolver o sistema de equações com as condições iniciais, encontramos:
C1 = k2 + lambda2lambda2 - lambda1 A0
C2 = k2 + lambda1lambda1 - lambda2 A0
D1 = k1lambda1 - lambda2 A0
D2 = -k1lambda1 - lambda2 A0
Substituindo os valores numéricos:
C1 = 1,5 - 3,19-3,19 - (-0,61) A0 = -1,69-2,58 A0 approx 0,655 A0
C2 = 1,5 - 0,610,61 - (-3,19) A0 = 0,893,8 A0 approx 0,234 A0
D1 = 10,61 + 3,19 A0 = 13,8 A0 approx 0,263 A0
D2 = -0,263 A0

Passo 12

Substituindo as constantes nas soluções:
[A](t) = 0,655 A0 e^-0,61 t + 0,234 A0 e^-3,19 t
[B](t) = 0,263 A0 e^-0,61 t - 0,263 A0 e^-3,19 t

Passo 13

Agora, voltando para P, que é dado por:
[P](t) = integral k2 [A](t) dt
Integrando a expressão de A:
[P](t) = 0,655 k2 A00,61 (1 - e^-0,61 t) + 0,234 k2 A03,19 (1 - e^-3,19 t)
Substituindo k2 = 1,5 , min^-1:
[P](t) = 0,655 times 1,5 A00,61 (1 - e^-0,61 t) + 0,234 times 1,5 A03,19 (1 - e^-3,19 t)
[P](t) approx 1,61 A0 (1 - e^-0,61 t) + 0,11 A0 (1 - e^-3,19 t)

Passo 14

Então, resumindo as perfis de concentração:
[A](t) approx 0,655 A0 e^-0,61 t + 0,234 A0 e^-3,19 t
[B](t) approx 0,263 A0 e^-0,61 t - 0,263 A0 e^-3,19 t
[P](t) approx 1,61 A0 (1 - e^-0,61 t) + 0,11 A0 (1 - e^-3,19 t)

Resposta

As concentrações das espécies no reator batelada em função do tempo são:
[A](t) approx 0,655 A0 e^-0,61 t + 0,234 A0 e^-3,19 t
[B](t) approx 0,263 A0 e^-0,61 t - 0,263 A0 e^-3,19 t
[P](t) approx 1,61 A0 (1 - e^-0,61 t) + 0,11 A0 (1 - e^-3,19 t)
Onde $ A_0 $ é a concentração inicial de A.

Exercícios relacionados