Para cada um dos mecanismos reacionais a seguir, determine os perfis de concentração para todas as espécies envolvidas em um reator batelada. Todas as etapas elementares são de primeira ordem. Para fins de cálculo, assuma , e . A xrightarrowk2 p P b B xrightarrowk-1 A
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre reação química em um reator batelada. O objetivo é determinar como as concentrações das diferentes espécies químicas mudam ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar cinética química, que estuda a velocidade das reações e como as concentrações dos reagentes e produtos variam. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as reações que estão acontecendo:
A se transforma em b B, com a constante de velocidade $ k_1 = 1 , min^{-1} $.
A se transforma em p P, com a constante de velocidade $ k_2 = 1,5 , min^{-1} $.
b B se transforma de volta em A, com a constante de velocidade reversa $ k_{-1} = 1,3 , min^{-1} $.
Essas são reações de primeira ordem, o que significa que a velocidade de cada reação depende apenas da concentração de um reagente.
Passo 3
Vamos definir as concentrações das espécies químicas:
[A](t): concentração de A no tempo t
[B](t): concentração de B no tempo t
[P](t): concentração de P no tempo t
Nos reatores batelada, não há fluxo de entrada ou saída durante a reação; então, a quantidade total de matéria é conservada.
Passo 4
Agora, vamos estabelecer as equações diferenciais que descrevem como as concentrações mudam ao longo do tempo.
Para a espécie A:
d[A]dt = -k1 [A] - k2 [A] + k-1 [B]
Aqui, A é consumido pelas reações 1 e 2, e regenerado pela reação reversa 3.
Para a espécie B:
d[B]dt = k1 [A] - k-1 [B]
B é formado na reação 1 e consumido na reação reversa 3.
Para a espécie P:
d[P]dt = k2 [A]
P é formado apenas na reação 2.
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, resolvemos para P porque é uma equação simples e independente.
Integrando d[P]dt = k2 [A], mas precisamos de [A] em função do tempo.
Mas, para simplificar, vamos primeiro resolver para A e B.
Passo 6
Considerando que d[A]dt = -(k1 + k2)[A] + k-1[B] e d[B]dt = k1 [A] - k-1 [B], temos um sistema de equações lineares.
Podemos reescrever o sistema na forma matricial:
$$
\frac{d}{dt} ddt [A] [B] = -(k1 + k2) & k-1 k1 & -k-1 [A] [B]
$$
Passo 7
Para resolver, vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz, o que nos permitirá expressar A e B como combinações de exponenciais.