Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos x, y e z; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
fac-
\left[\mathrm{RuCl}_{3}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)_{3}\right] (considere o grupo \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} como um grupo pontual)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a espécie fac- \left[\mathrm{RuCl}_{3}\left(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\right)_{3}\right]:
a) identificar todas as operações de simetria;
b) especificar os eixos x,y,z;
c) determinar o grupo de pontos.
Informações importantes dadas/assumidas: a espécie é o isômero facial (fac) de um octaedro com três Cl idênticos em posições faciais e três grupos \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} ocupando as outras três posições; devo considerar cada \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} como um grupo pontual (isto é, cada água tem simetria interna \mathrm{C}_{2v} e pode ser orientada de forma a conservar simetria global se possível).
Não começo a resolver ainda — só enumerei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Escolhendo uma representação geométrica concreta (isso ajuda a “ver” as operações): coloco o átomo de Ru no centro (origem). Os três Cl ocupam os vértices de um triângulo que formam uma face do octaedro; os três \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} ocupam a face oposta (figura mental). Uma forma simples de visualizar é imaginar os três \mathrm{Cl} apontando para direções que se relacionam ciclicamente entre si (120° entre cada par ao redor de um eixo que passa pelo centro desse triângulo). O que é relevante: existe um eixo de ordem maior que 1 que permuta ciclicamente os três Cl entre si — esse será o eixo principal. Vou usar essa imagem ao identificar operações; mais adiante defino o sistema de eixos x,y,z.

Passo 3

Procurando o eixo principal de rotação: os três ligantes idênticos ( \mathrm{Cl}) dispostos em vértices de um triângulo implicam um eixo que passa pelo Ru e pelo centro desse triângulo que cicla as três posições. Esse eixo tem ordem 3 (rotações de 120^\circ permutam as três Cl). Portanto existe pelo menos um \mathrm{C}_{3} (e sua potência \mathrm{C}_{3}^{2}). Vou explicar o que são essas operações:
  • E: identidade — faz nada, sempre presente.
  • \mathrm{C}_{3}: rotação de +120^\circ em torno do eixo que passa pelo Ru e pelo centro do triângulo das três \mathrm{Cl}; envia \mathrm{Cl}_1\to\mathrm{Cl}_2\to\mathrm{Cl}_3\to\mathrm{Cl}_1 e faz o mesmo ciclando as três águas.
  • \mathrm{C}_{3}^{2}: rotação de +240^\circ (ou -120^\circ), diferente de E e distinta de \mathrm{C}_{3}.
Mostre mentalmente que essas rotações deixam a arrumação das três \mathrm{Cl} e das três \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} inalteradas como conjunto (só permutam entre si).

Passo 4

Procurando planos de simetria: existe um conjunto de planos que contém o eixo \mathrm{C}_{3} e que passam por uma \mathrm{Cl} e pela \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} oposta (cada plano contém o Ru, uma \mathrm{Cl} e a \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} que está “em frente” dessa Cl). Como há três pares assim, existem três planos do tipo \sigma_{v} (planos verticais que contêm o eixo principal). Explicando o que isso significa:
  • Cada \sigma_{v} reflete a molécula trocando duas das \mathrm{Cl} entre si e trocando duas das \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} entre si, enquanto deixa a \mathrm{Cl} que está no plano e a \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} oposta em seus lugares.
    Concluímos que há exatamente três planos de reflexão que passam pelo eixo \mathrm{C}_{3}. Esses são chamados de \sigma_{v}.

Passo 5

Verificação da ausência de outros elementos que mudariam o grupo:
  • Centro de inversão i?: não — se houver inversão no centro, um \mathrm{Cl} na face não iria para outra \mathrm{Cl} na mesma face (no arranjo facial não existe par oposto direto para cada Cl), então não há i.
  • Eixo \mathrm{C}_{2} perpendicular ao eixo principal?: não de forma compatível com manter as três Cl como conjunto; se houvesse um \mathrm{C}_{2} perpendicular, ele trocaria pares de ligantes de uma forma que não preserva a configuração facial. Portanto não há eixos \mathrm{C}_{2} perpendiculares ao \mathrm{C}_{3}.
  • Elementos impróprios \mathrm{S}_{n} de ordem >1?: também ausentes consistentemente com a combinação \mathrm{C}_{3} + \sigma_{v}.
Dessa análise obtemos o conjunto completo de operações de simetria (veja resumo no passo da resposta).

Passo 6

Agora explico como escolher eixos x,y,z de forma prática (o enunciado pediu explicitamente):
  • z: escolhemos o eixo z ao longo do eixo de rotação de ordem 3, ou seja, a reta que passa pelo átomo de Ru e pelo centro do triângulo formado pelas três \mathrm{Cl}. Esse é o eixo principal \mathrm{C}_{3}.
  • x: escolhemos o eixo x dentro de um dos planos \sigma_{v}: por exemplo, escolha o plano \sigma_{v1} que contém a \mathrm{Cl}_1 e a \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_1; faça o eixo x de modo que ele esteja contido nesse plano e aponte do Ru em direção à proyección da \mathrm{Cl}_1 sobre o plano perpendicular a z (na prática: x aponta “para” uma das \mathrm{Cl} quando visto ao longo de z).
  • y: completamos o sistema ortogonal com y de modo que (x,y,z) seja um sistema de mão direita; y fica então no plano que também é \sigma_{v2} ou entre planos, perpendicular a x e ao z.
Em palavras mais simples: z = eixo de 3-fold (através do centro do triângulo das \mathrm{Cl}); x = reta num dos planos de espelho que contém uma \mathrm{Cl}; y = perpendicular a x no plano ortogonal ao z.

Passo 7

Tratando a simetria interna das moléculas \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}: cada água isolada tem grupo pontual \mathrm{C}_{2v} (um eixo \mathrm{C}_{2} passando pelo oxigênio e dois planos de simetria que contêm a molécula de água). Para que a complexa mantenha a simetria global descrita acima, assumimos que cada \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} está orientada de modo que o plano molecular da água coincida com o plano \sigma_{v} que passa por essa água e pela Cl oposta, e que o eixo \mathrm{C}_{2} da água esteja contido nesse \sigma_{v}. Assim cada água individualmente é compatível com os planos \sigma_{v} do complexo — então a simetria global \mathrm{C}_{3v} é preservada. Se as águas estivessem giradas arbitrariamente, a simetria poderia ser menor; mas o enunciado pede que se considere \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} como grupo pontual, portanto essa orientação compatível é a natural para identificar a simetria máxima.

Passo 8

Conclusão sobre o grupo de pontos: o conjunto de operações encontrado é exatamente
\{E,\; \mathrm{C}_{3},\; \mathrm{C}_{3}^{2},\; \sigma_{v}^{(1)},\; \sigma_{v}^{(2)},\; \sigma_{v}^{(3)}\},
ou seja, identidade, duas rotações de ordem 3 (além da identidade) e três planos verticais de reflexão. Esse conjunto de operações é a definição do grupo de pontos \mathrm{C}_{3v}. Portanto o grupo de pontos do isômero fac- \left[\mathrm{RuCl}_{3}\left(\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}\right)_{3}\right], assumindo orientações das águas compatíveis com os planos de simetria, é \mathrm{C}_{3v}.

Resposta

a) Operações de simetria: E,\; \mathrm{C}_{3},\; \mathrm{C}_{3}^{2},\; \sigma_{v}^{(1)},\; \sigma_{v}^{(2)},\; \sigma_{v}^{(3)}.
b) Eixos: z = eixo de rotação de ordem 3 (reta que passa por Ru e pelo centro do triângulo formado pelas três \mathrm{Cl}); x = eixo escolhido dentro de um dos planos \sigma_{v}, apontando em direção a uma das \mathrm{Cl}; y = eixo perpendicular a x no plano ortogonal a z (completa sistema de mão direita).
c) Grupo de pontos: \mathrm{C}_{3v}.

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