Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos
e
; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
fac-
(considere o grupo
como um grupo pontual)
b) Especifique os eixos
fac-
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a espécie fac-
:
a) identificar todas as operações de simetria;
b) especificar os eixos ;
c) determinar o grupo de pontos.
Informações importantes dadas/assumidas: a espécie é o isômero facial (fac) de um octaedro com três Cl idênticos em posições faciais e três grupos ocupando as outras três posições; devo considerar cada
como um grupo pontual (isto é, cada água tem simetria interna
e pode ser orientada de forma a conservar simetria global se possível).
Não começo a resolver ainda — só enumerei o que é pedido e os dados disponíveis.
a) identificar todas as operações de simetria;
b) especificar os eixos
c) determinar o grupo de pontos.
Informações importantes dadas/assumidas: a espécie é o isômero facial (fac) de um octaedro com três Cl idênticos em posições faciais e três grupos
Não começo a resolver ainda — só enumerei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Escolhendo uma representação geométrica concreta (isso ajuda a “ver” as operações): coloco o átomo de Ru no centro (origem). Os três Cl ocupam os vértices de um triângulo que formam uma face do octaedro; os três
ocupam a face oposta (figura mental). Uma forma simples de visualizar é imaginar os três
apontando para direções que se relacionam ciclicamente entre si (120° entre cada par ao redor de um eixo que passa pelo centro desse triângulo). O que é relevante: existe um eixo de ordem maior que 1 que permuta ciclicamente os três Cl entre si — esse será o eixo principal. Vou usar essa imagem ao identificar operações; mais adiante defino o sistema de eixos
.
Passo 3
Procurando o eixo principal de rotação: os três ligantes idênticos (
) dispostos em vértices de um triângulo implicam um eixo que passa pelo Ru e pelo centro desse triângulo que cicla as três posições. Esse eixo tem ordem 3 (rotações de
permutam as três Cl). Portanto existe pelo menos um
(e sua potência
). Vou explicar o que são essas operações:
-
: identidade — faz nada, sempre presente. -
: rotação de em torno do eixo que passa pelo Ru e pelo centro do triângulo das três ; envia e faz o mesmo ciclando as três águas. -
: rotação de (ou ), diferente de e distinta de .
Mostre mentalmente que essas rotações deixam a arrumação das três
e das três
inalteradas como conjunto (só permutam entre si).
Passo 4
Procurando planos de simetria: existe um conjunto de planos que contém o eixo
e que passam por uma
e pela
oposta (cada plano contém o Ru, uma
e a
que está “em frente” dessa Cl). Como há três pares assim, existem três planos do tipo
(planos verticais que contêm o eixo principal). Explicando o que isso significa:
- Cada
reflete a molécula trocando duas das entre si e trocando duas das entre si, enquanto deixa a que está no plano e a oposta em seus lugares.
Concluímos que há exatamente três planos de reflexão que passam pelo eixo. Esses são chamados de .
Passo 5
Verificação da ausência de outros elementos que mudariam o grupo:
- Centro de inversão
?: não — se houver inversão no centro, um na face não iria para outra na mesma face (no arranjo facial não existe par oposto direto para cada Cl), então não há . - Eixo
perpendicular ao eixo principal?: não de forma compatível com manter as três Cl como conjunto; se houvesse um perpendicular, ele trocaria pares de ligantes de uma forma que não preserva a configuração facial. Portanto não há eixos perpendiculares ao . - Elementos impróprios
de ordem >1?: também ausentes consistentemente com a combinação + .
Dessa análise obtemos o conjunto completo de operações de simetria (veja resumo no passo da resposta).
Passo 6
Agora explico como escolher eixos
de forma prática (o enunciado pediu explicitamente):
-
: escolhemos o eixo ao longo do eixo de rotação de ordem 3, ou seja, a reta que passa pelo átomo de Ru e pelo centro do triângulo formado pelas três . Esse é o eixo principal . -
: escolhemos o eixo dentro de um dos planos : por exemplo, escolha o plano que contém a e a ; faça o eixo de modo que ele esteja contido nesse plano e aponte do Ru em direção à proyección da sobre o plano perpendicular a (na prática: aponta “para” uma das quando visto ao longo de ). -
: completamos o sistema ortogonal com de modo que seja um sistema de mão direita; fica então no plano que também é ou entre planos, perpendicular a e ao .
Em palavras mais simples:
= eixo de 3-fold (através do centro do triângulo das
);
= reta num dos planos de espelho que contém uma
;
= perpendicular a
no plano ortogonal ao
.
Passo 7
Tratando a simetria interna das moléculas
: cada água isolada tem grupo pontual
(um eixo
passando pelo oxigênio e dois planos de simetria que contêm a molécula de água). Para que a complexa mantenha a simetria global descrita acima, assumimos que cada
está orientada de modo que o plano molecular da água coincida com o plano
que passa por essa água e pela Cl oposta, e que o eixo
da água esteja contido nesse
. Assim cada água individualmente é compatível com os planos
do complexo — então a simetria global
é preservada. Se as águas estivessem giradas arbitrariamente, a simetria poderia ser menor; mas o enunciado pede que se considere
como grupo pontual, portanto essa orientação compatível é a natural para identificar a simetria máxima.
Passo 8
Conclusão sobre o grupo de pontos: o conjunto de operações encontrado é exatamente
ou seja, identidade, duas rotações de ordem 3 (além da identidade) e três planos verticais de reflexão. Esse conjunto de operações é a definição do grupo de pontos
. Portanto o grupo de pontos do isômero fac-
, assumindo orientações das águas compatíveis com os planos de simetria, é
.
Resposta
a) Operações de simetria:
.
b) Eixos: = eixo de rotação de ordem 3 (reta que passa por Ru e pelo centro do triângulo formado pelas três
);
= eixo escolhido dentro de um dos planos
, apontando em direção a uma das
;
= eixo perpendicular a
no plano ortogonal a
(completa sistema de mão direita).
c) Grupo de pontos: .
b) Eixos:
c) Grupo de pontos: