Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos
e
; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
trans-
(considere o grupo
como um grupo pontual)
b) Especifique os eixos
trans-
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a molécula/íon trans-
:
a) identificar todas as operações de simetria da espécie;
b) especificar os eixos ,
e
;
c) determinar o grupo de pontos.
Informações dadas e assumidas (importantes para a análise): a geometria é octaédrica ao redor do cobalto; os dois ligantes estão em posição trans (ou seja, opostos entre si); os quatro ligantes
ocupam as posições restantes (o “cinturão” equatorial). O enunciado diz explicitamente: “considere o grupo
como um grupo pontual” — isto é, leve em conta a simetria interna dos grupos
(cada
tem simetria
em torno da ligação
). Não há figura fornecida.
a) identificar todas as operações de simetria da espécie;
b) especificar os eixos
c) determinar o grupo de pontos.
Informações dadas e assumidas (importantes para a análise): a geometria é octaédrica ao redor do cobalto; os dois ligantes
Passo 2
Breve revisão das operações de simetria que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
- A operação identidade
deixa tudo exatamente como está. - Uma rotação
é uma rotação de em torno de um eixo; por exemplo é rotação de , é de . - Um espelho
é uma reflexão em um plano; é indicado por com um índice que descreve o plano ( é o plano , etc.). - O centro de inversão
leva em . - Um eixo impróprio
é uma rotação seguida de reflexão no plano perpendicular.
Cada operação só é considerada simetria da molécula se, ao aplicá‑la, todos os átomos (incluindo os átomos de H nos, já que esses grupos têm simetria própria) são levados em posições ocupadas por átomos do mesmo tipo, e as orientações internas dos grupos também coincidem com o original.
Passo 3
Descrição geométrica e escolha inicial de eixos (fundamental para ver quais operações existem):
- Colocamos o eixo
passando por e pelos dois (um em e outro em ). Isto é natural porque os estão trans. - Os quatro
ficam no plano equatorial , em posições aproximadamente , , , . Escolhemos o eixo passando por duas opostas (por exemplo as em e ) e o eixo passando pelas outras duas (em e ).
Observação sobre o papel de: cada tem eixo local de simetria ao longo da ligação . Isso limita operações globais que envolvem rotações de ao redor de porque uma rotação de giraria internamente uma por , e não é uma operação de simetria de (que admite somente rotações múltiplas de ). Portanto, devemos verificar se é compatível ou não com as simetrias internas dos .
Passo 4
Verificação da presença da identidade e do centro de inversão:
-
(identidade) está sempre presente. - Centro de inversão
com centro em : aplicando , o em vai para (e vice‑versa); a em vai para a em , e assim por diante. Podemos também escolher as orientações internas (dos ) de modo que o conjunto de Hs em uma seja levado nos Hs correspondentes da oposta pela inversão — assim é compatível com a simetria completa da espécie. Conclusão: existe.
Passo 5
Rotação em torno do eixo
: existe
mas não
(explicação detalhada):
- Rotação de
( ) em torno de levaria a . Porém, essa rotação também gira cada em torno do seu eixo local por . Como cada tem apenas simetria (rotacões por ), a rotação de NÃO leva a configuração de Hs de uma para a configuração de Hs da outra — portanto não é operação de simetria da molécula quando consideramos a simetria interna de . - Rotação de
( ) em torno de é diferente: ela troca e . Um giro de em torno de aplica uma rotação espacial de a cada ; essa operação pode ser compatível com as orientações relativas dos Hs entre pares opostos de (podemos escolher as orientações iniciais de modo consistente com a simetria global). Assim ao longo de existe. Denotamos esta operação por .
Passo 6
As demais rotações de
: eixos
e
(mais didático):
- Existe uma rotação
em torno do eixo (que passa pelas duas em e ). Essa operação troca as entre e e também troca as duas em e . Novamente, por acomodarmos as orientações dos Hs, essa é uma simetria possível. - De modo análogo, existe
em torno do eixo .
Portanto há três eixos mutuamente perpendiculares de ordem 2:, e .
Passo 7
Planos de simetria e relação com as rotações:
- O plano equatorial
(o plano que contém as quatro ) é um espelho: reflete o em e mantém as quatro no próprio plano, trocando Hs de forma consistente entre pares opostos — assim existe. - Existem também os planos verticais
e que contêm o eixo e, respectivamente, o eixo ou . Cada um desses espelhos troca duas entre si e troca os Hs de maneira compatível (novamente, assumindo orientações consistentes dos ). Portanto e também são operações de simetria.
Observação: os planos diagonais que seriam(bissetrizes entre e ) não são independentes aqui porque já temos os planos , e o conjunto de três ; a estrutura gerada corresponde a um conjunto característico de um grupo com 8 operações.
Passo 8
Verificação de eixos impróprios
e conclusão do conjunto de operações:
- Como não há
, não há em particular. - As operações que de fato preservam toda a estrutura (átomos de N, Cl, H e suas orientações internas, com as orientações dos
escolhidas consistentemente) são:
; , , ; ; , , .
Este conjunto contém 8 operações no total e é fechado sob composição — isto é a assinatura do grupo de ponto.
Passo 9
Resumo físico-intuitivo e motivo da escolha do grupo
(para fixar na cabeça):
- A razão chave para NÃO escolher
(que teria , , etc.) é o fato de os ligantes serem com simetria interna : rotações de em torno do eixo que passa pelos cloretos não são simetrias internas das , então não podem ser operações de simetria do conjunto completo que inclui os Hs. - As rotações de
e as reflexões listadas simétricas mapeiam cada em outra (ou nela mesma) de modo compatível com a simetria interna de . Assim o maior grupo que respeita a geometria e a simetria interna dos ligantes é .
Resposta
a)
b) ao longo do eixo
(os dois
em
e
);
passando pelas duas
opostas em
e
;
passando pelas outras duas
em
e
(plano equatorial = plano
).
c)
b)
c)