Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos
e
; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
(atenção: a molécula não é plana pois o plano dos hidrogênios da direita é perpendicular ao plano dos hidrogênios da esquerda)
b) Especifique os eixos
Passo 1
O enunciado pede, para a molécula
(alleno, com os planos dos hidrogênios terminais perpendiculares entre si):\n
a) identificar todas as operações de simetria da molécula;\n
b) especificar os eixos ,
e
que usaremos na descrição;\n
c) determinar o grupo de pontos da molécula.\n
Informação dada importante: a molécula não é plana — o plano contendo os dois hidrogênios do grupo de um lado é perpendicular ao plano contendo os dois hidrogênios do outro lado. Eu vou usar essa geometria na resolução.
a) identificar todas as operações de simetria da molécula;\n
b) especificar os eixos
c) determinar o grupo de pontos da molécula.\n
Informação dada importante: a molécula não é plana — o plano contendo os dois hidrogênios do grupo
Passo 2
Rápida revisão didática dos tipos de operações de simetria (pra você não se perder nas palavras):\n
-
: identidade — faz nada, sempre existe.\n -
: rotação de ao redor de um eixo (por exemplo é rotação de ).\n -
: reflexão em um plano (escrevemos se o plano é vertical, se é horizontal, se é um plano diagonal que bisecta ângulos entre eixos).\n -
: inversão no centro.\n -
: rotação imprópria: rotação por seguida de reflexão em um plano perpendicular ao eixo da rotação.\n
Vou aplicar esses conceitos à geometria do alleno.
Passo 3
Definição conveniente de eixos (vou escolher uma orientação clara para rastrear cada operação):\n
- tomo o eixo
como o eixo que passa pelos três átomos de carbono (a cadeia C–C–C), isto é, o eixo molecular longitudinal.\n - coloco o grupo
do “lado esquerdo” com seu plano de hidrogênios no plano . Assim os dois hidrogênios desse têm coordenadas aproximadas .\n - coloco o grupo
do “lado direito” com seu plano de hidrogênios no plano (perpendicular ao plano ). Assim os dois hidrogênios desse outro têm coordenadas aproximadas .\n
Explicando em palavras simples: as hidrogênias do terminal superior estão alinhadas ao longo do eixo(com ), e as do terminal inferior estão alinhadas ao longo do eixo (com ). Esse sistema de coordenadas respeita a condição “planos perpendiculares” dada no enunciado.
Passo 4
Operação trivial:
.\n
Sempre temos a identidade — não vou enrolar: é uma operação de simetria.
Sempre temos a identidade
Passo 5
Verificando um eixo de rotação
ao longo de
:\n
- A rotação
é uma rotação de em torno do eixo . Em coordenadas: .\n - Aplicando essa rotação às posições que tomamos: os hidrogênios do
em trocam entre si ; os hidrogênios do em também trocam . Os carbonos ficam no próprio eixo e apenas se giram em torno de si.\n
Conclusão: a rotaçãodeixa a molécula inalterada como um todo — é uma operação de simetria válida.
Passo 6
Existência das rotações impróprias
em torno de
: explicar o porquê.\n
- Considere a operação
que faz: rotação de em torno de seguida de reflexão em um plano perpendicular a (isto é, reflexão que troca por ).\n - Tomemos um hidrogênio do
superior em . Rotacionando em torno de dá . Depois refletir em dá — justamente a posição de um hidrogênio do inferior. Portanto leva hidrogênios do lado superior para hidrogênios do lado inferior de maneira consistente com a geometria.\n - A operação inversa
(rotacionar e refletir) também funciona. Além disso, é igual a uma rotação (pois duas rotações de somam e duas reflexões pelo plano perpendicular cancelam em relação à posição final), então já contamos isso.\n
Conclusão: háe como operações de simetria.
Passo 7
Existência de dois eixos
perpendiculares ao eixo
: descrição geométrica e efeito.\n
- No grupo
(que é o que estamos construindo), além do eixo principal (= eixo do tipo / ), existem dois eixos que são perpendiculares a e passam pelo carbono central; eles trocam as duas extremidades e também permutam hidrogênios de forma consistente.\n - No nosso sistema de coordenadas os eixos
não coincidem com os eixos e escolhidos (porque rotações de em torno de ou não levariam os hidrogênios exatamente nas posições necessárias). Em vez disso, esses estão inclinados em relação aos eixos e — isto é, ao longo das direções que bissetam os ângulos entre os planos dos hidrogênios.\n - Operacionalmente: cada um desses
é uma rotação de que troca o grupo superior com o inferior e reordena os dois hidrogênios de cada terminal de maneira que a molécula fica indistinguível.\n
Conclusão: existem dois eixosperpendiculares a .
Passo 8
Existência de dois planos
(planos diagonais) contendo o eixo
:\n
- Um plano
contém o eixo e bisseta o ângulo entre os dois planos dos hidrogênios. Esse plano refletirá um hidrogênio do lado superior em um hidrogênio do lado inferior (ou trocará hidrogênios entre si), de forma compatível com a geometria perpendicular dos planos. Há dois desses planos diagonais distintos (cada um bissetando o ângulo entre as direções dos pares de hidrogênios).\n - Observe que não existe um plano
que contenha e deixe cada inalterado (porque os planos dos hidrogênios dos dois terminais são perpendiculares), logo os espelhos presentes são do tipo diagonal ( ) e não do tipo vertical simples ( ) nem horizontal ( ).\n
Conclusão: há duas operações.
Passo 9
Resumo e lista final das operações de simetria (item a) — explicando de maneira direta:\n
As operações de simetria da molécula são: \n
As operações de simetria da molécula são: \n
-
(identidade),\n -
(rotação de em torno do eixo molecular ),\n - dois eixos
(duas rotações de em eixos perpendiculares a que trocam as extremidades),\n -
e (duas rotações impróprias de ordem 4 em torno de : /reflexão e /reflexão),\n - duas reflexões
(dois planos diagonais que contêm e bissetam os planos dos hidrogênios).\n
Observação útil:, então a lista acima tem exatamente as 8 operações que caracterizam o grupo .
Passo 10
Especificação explícita dos eixos
pedida no item (b):\n
-
: eixo principal, ao longo da cadeia de carbonos (linha C–C–C).\n -
: escolhi de modo que o plano dos hidrogênios do superior esteja no plano ; assim os hidrogênios desse terminal têm coordenadas aproximadas .\n -
: perpendicular a e ; o plano dos hidrogênios do inferior está no plano , com hidrogênios em .\n
Comentário prático: com essa escolha as operaçõese ficam fáceis de visualizar (veja os passos anteriores).
Passo 11
Determinação do grupo de pontos (item c) e justificativa curta:\n
- Nós achamos 8 operações:
.\n - O conjunto com exatamente essas operações é o grupo de pontos
.\n
Portanto o grupo de pontos da molécula é.
Resposta
a)
(dois eixos
perpendiculares a
),
e
,
.\n
b) eixo : ao longo da cadeia C–C–C; eixo
: plano dos H do
superior está em
; eixo
: perpendicular a
e
, plano dos H do
inferior está em
.\n
c) grupo de pontos: .
b) eixo
c) grupo de pontos: