Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos
e
; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
bifenil com os dois anéis coplanares
b) Especifique os eixos
bifenil com os dois anéis coplanares
Passo 1
O enunciado pede, para o bifenil com os dois anéis coplanares, as três coisas a seguir:
a) identificar todas as operações de simetria presentes;
b) especificar os eixos (ou seja, dar um referencial conveniente para a molécula);
c) determinar o grupo de pontos da molécula (o enunciado diz que as respostas estão ao final da lista, mas aqui vamos concluir).
a) identificar todas as operações de simetria presentes;
b) especificar os eixos
c) determinar o grupo de pontos da molécula (o enunciado diz que as respostas estão ao final da lista, mas aqui vamos concluir).
Informações dadas (o que temos sobre a molécula):
- A molécula é o bifenil: dois anéis benzênicos ligados por uma única ligação carbono–carbono entre os carbonos que fazem a união dos anéis.
- Os dois anéis estão coplanares (ou seja, toda a molécula é planar).
- Os dois anéis são idênticos e a ligação que os une está no mesmo plano que os anéis (não há torção).
Passo 2
Entendendo a geometria concreta do bifenil coplanar (para poder testar operações de simetria).
- Pense na molécula como dois hexágonos (anéis benzênicos) ligados por uma aresta comum (a ligação inter-anelar).
- A molécula inteira é plana: todos os átomos estão em um mesmo plano.
- Há um centro geométrico óbvio entre os dois anéis (o ponto médio da ligação que os une, ou o centro geométrico da figura).
Essa descrição é tudo que precisamos geometricamente para verificar rotações, reflexões e inversões — imaginamos os átomos posicionados simetricamente em relação ao centro e aos eixos do sistema.
Passo 3
Breve aula sobre os tipos de operações de simetria que vamos procurar (explico cada uma de forma simples):
-
: operação identidade — não faz nada; sempre presente em qualquer molécula. -
: rotação de ao redor de um eixo. Para , é rotação de . Uma rotação é um elemento de simetria se, após rotacionar, cada átomo ocupa a posição de um átomo idêntico. -
: plano de reflexão (espelho). Existem planos horizontais — que são perpendiculares ao eixo principal — e verticais — que contêm o eixo principal. Refletir significa que cada átomo passa para a posição de um átomo idêntico do outro lado do plano. -
: inversão pelo centro — cada ponto com coordenadas vai para . Se todo átomo vai para um átomo idêntico, existe centro de inversão. -
: rotação seguida de reflexão no plano perpendicular ao eixo (eixo de rotação reflexivo), não vamos precisar de um independente se já houver outros elementos que definem o grupo.
Vou aplicar essas definições diretamente ao bifenil.
Passo 4
Procurando e identificando os eixos de rotação
. Vou testar rotações de
ao redor de possíveis eixos ortogonais entre si (isso sugere D2h se todas estiverem presentes). Mostro a lógica:
- Eixo perpendicular ao plano molecular (escolha inicial): considere um eixo passando pelo centro da molécula e perpendicular ao plano dos anéis. Uma rotação de
( ) em torno desse eixo troca a metade esquerda com a metade direita de cada anel e troca um anel com ele mesmo, mas por causa da simetria interna do anel benzênico (e de como os átomos emparelham), a molécula fica indistinguível. Logo existe um perpendicular ao plano. Denoto-o (vou usar para eixo perpendicular ao plano). - Eixo contido no plano e coincidente com a ligação que une os anéis: considere um eixo no plano que passa pelo centro e ao longo da ligação inter-anelar (pense numa reta que corta o centro e segue pela direção da ligação que une os dois carbonos). Rotacionar
em torno desse eixo troca os dois anéis entre si de forma que cada átomo vai para a posição de um átomo idêntico do outro anel. Portanto há um ao longo da ligação inter-anelar. Denoto-o . - Eixo contido no plano e perpendicular ao eixo anterior (ou seja, no plano molecular, passando pelo centro e perpendicular à ligação inter-anelar): uma rotação de
em torno desse eixo também leva cada átomo à posição de outro átomo idêntico (efetivamente reflete as extremidades dos anéis entre si). Portanto existe também um nesse sentido. Denoto-o .
Conclusão desta etapa: existem três eixosmutuamente perpendiculares que passam pelo centro da molécula: .
Passo 5
Procurando planos de espelho
e identificando
e
. Lembre que
é o plano perpendicular ao eixo principal (aqui temos um eixo principal de ordem 2), e
contém o eixo principal.
- A molécula é plana: o próprio plano que contém todos os átomos é um plano de reflexão. Esse plano é perpendicular ao eixo
(que escolhemos como o eixo perpendicular ao plano). Portanto esse plano é um plano horizontal . Refletir pela deixa a molécula inalterada porque todos os átomos estão no plano. - Existem também dois planos verticais que contêm o eixo
: um plano vertical contém os eixos e (o plano ) e o outro contém e (o plano ). Ambos são planos de simetria porque a reflexão em cada um troca partes da molécula de maneira consistente com a sua geometria (por exemplo, o plano passa pela ligação inter-anelar e reflete um lado do sistema no outro). Assim há e .
Conclusão: existem(o plano da molécula) e dois (os planos que contém e um dos eixos do plano).
Passo 6
Procurando centro de inversão
.
- O ponto médio central (o centro geométrico entre os anéis, por exemplo o ponto médio da ligação inter-anelar) é tal que a inversão por esse ponto leva cada átomo a um átomo idêntico do outro lado. Geometricamente, se um átomo está em
o correspondente simétrico está em , e esses dois são posições de átomos equivalentes nas duas metades da molécula. Portanto existe um centro de inversão no centro da molécula. - Observação: a existência de
mais os três e os planos mostra que a molécula tem simetrias “completas” típicas de um grupo ortorrômbico com centro.
Passo 7
Listando todas as operações de simetria encontradas explicitamente (faço a lista completa, cada símbolo em TeX):
-
(identidade). -
(rotação de em torno do eixo perpendicular ao plano). -
(rotação de em torno do eixo ao longo da ligação inter-anelar, no plano). -
(rotação de em torno do eixo no plano e perpendicular à ligação). -
(inversão pelo centro). -
(plano da molécula). -
(plano que contém e ). -
(plano que contém e ).
Essa coleção de elementos é exatamente o conjunto de operações do grupo. (Explico por que em seguida.)
Passo 8
Escolhendo e especificando os eixos
de maneira clara (resposta à parte b do enunciado) — justifico e descrevo o sistema de coordenadas para uso em provas:
-
: eixo perpendicular ao plano da molécula, passando pelo centro (ponto médio da ligação inter-anelar). É o eixo de rotação perpendicular ao plano onde existe um . Este é o eixo “principal” no sentido de que é fácil visualizá-lo como a normal ao plano (uso comum em química de simetria). -
: eixo no próprio plano molecular, coincidindo com a direção da ligação que une os dois anéis (ou seja, ao longo da aresta que liga os dois anéis); passa pelo centro. Em rotações esse eixo troca os dois anéis entre si. -
: eixo no plano molecular, perpendicular ao eixo , passando pelo centro, escolhido de modo que forme um sistema dextrógiro (regra da mão direita).
Para recapitular de forma curta:é perpendicular ao plano, é colinear à ligação inter-anelar no plano, e é o outro eixo no plano perpendicular a .
Passo 9
Mostrando que o conjunto de elementos que encontramos corresponde ao grupo de pontos
.
- O grupo
é caracterizado por: . - No Passo 7 eu já listei exatamente esses elementos para o bifenil coplanar e expliquei a existência de cada um geometricamente. Portanto a molécula tem precisamente as simetrias do grupo
.
Observação didática curta: muitos polígonos/arranjos com três eixosortogonais, centro de inversão e três planos de espelho encaixam em . O bifenil coplanar é um caso direto.
Passo 10
Resumo final (já verificado) das operações e do grupo. (Estou encerrando a resolução e em seguida dou a resposta final pedida de forma compacta.)
Resposta
a)
b) : eixo perpendicular ao plano molecular (normal ao plano dos anéis),
: eixo no plano coincidente com a ligação inter-anelar,
: eixo no plano perpendicular a
(formando um sistema ortogonal
).
c)
b)
c)