Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos x, y e z; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
bifenil com os dois anéis coplanares

Passo 1

O enunciado pede, para o bifenil com os dois anéis coplanares, as três coisas a seguir:
a) identificar todas as operações de simetria presentes;
b) especificar os eixos x,y,z (ou seja, dar um referencial conveniente para a molécula);
c) determinar o grupo de pontos da molécula (o enunciado diz que as respostas estão ao final da lista, mas aqui vamos concluir).
Informações dadas (o que temos sobre a molécula):
  • A molécula é o bifenil: dois anéis benzênicos ligados por uma única ligação carbono–carbono entre os carbonos que fazem a união dos anéis.
  • Os dois anéis estão coplanares (ou seja, toda a molécula é planar).
  • Os dois anéis são idênticos e a ligação que os une está no mesmo plano que os anéis (não há torção).

Passo 2

Entendendo a geometria concreta do bifenil coplanar (para poder testar operações de simetria).
  • Pense na molécula como dois hexágonos (anéis benzênicos) ligados por uma aresta comum (a ligação inter-anelar).
  • A molécula inteira é plana: todos os átomos estão em um mesmo plano.
  • Há um centro geométrico óbvio entre os dois anéis (o ponto médio da ligação que os une, ou o centro geométrico da figura).
    Essa descrição é tudo que precisamos geometricamente para verificar rotações, reflexões e inversões — imaginamos os átomos posicionados simetricamente em relação ao centro e aos eixos do sistema.

Passo 3

Breve aula sobre os tipos de operações de simetria que vamos procurar (explico cada uma de forma simples):
  • E: operação identidade — não faz nada; sempre presente em qualquer molécula.
  • C_n: rotação de 360^\circ/n ao redor de um eixo. Para n=2, C_2 é rotação de 180^\circ. Uma rotação é um elemento de simetria se, após rotacionar, cada átomo ocupa a posição de um átomo idêntico.
  • \sigma: plano de reflexão (espelho). Existem planos horizontais (\sigma_h) — que são perpendiculares ao eixo principal — e verticais (\sigma_v) — que contêm o eixo principal. Refletir significa que cada átomo passa para a posição de um átomo idêntico do outro lado do plano.
  • i: inversão pelo centro — cada ponto com coordenadas (x,y,z) vai para (-x,-y,-z). Se todo átomo vai para um átomo idêntico, existe centro de inversão.
  • S_n: rotação seguida de reflexão no plano perpendicular ao eixo (eixo de rotação reflexivo), não vamos precisar de um S_n independente se já houver outros elementos que definem o grupo.
Vou aplicar essas definições diretamente ao bifenil.

Passo 4

Procurando e identificando os eixos de rotação C_2. Vou testar rotações de 180^\circ ao redor de possíveis eixos ortogonais entre si (isso sugere D2h se todas estiverem presentes). Mostro a lógica:
  • Eixo perpendicular ao plano molecular (escolha inicial): considere um eixo passando pelo centro da molécula e perpendicular ao plano dos anéis. Uma rotação de 180^\circ ( C_2) em torno desse eixo troca a metade esquerda com a metade direita de cada anel e troca um anel com ele mesmo, mas por causa da simetria interna do anel benzênico (e de como os átomos emparelham), a molécula fica indistinguível. Logo existe um C_2 perpendicular ao plano. Denoto-o \,C_{2}^{(z)} (vou usar z para eixo perpendicular ao plano).
  • Eixo contido no plano e coincidente com a ligação que une os anéis: considere um eixo no plano que passa pelo centro e ao longo da ligação inter-anelar (pense numa reta que corta o centro e segue pela direção da ligação que une os dois carbonos). Rotacionar 180^\circ em torno desse eixo troca os dois anéis entre si de forma que cada átomo vai para a posição de um átomo idêntico do outro anel. Portanto há um C_2 ao longo da ligação inter-anelar. Denoto-o \,C_{2}^{(x)}.
  • Eixo contido no plano e perpendicular ao eixo anterior (ou seja, no plano molecular, passando pelo centro e perpendicular à ligação inter-anelar): uma rotação de 180^\circ em torno desse eixo também leva cada átomo à posição de outro átomo idêntico (efetivamente reflete as extremidades dos anéis entre si). Portanto existe também um C_2 nesse sentido. Denoto-o \,C_{2}^{(y)}.
    Conclusão desta etapa: existem três eixos C_2 mutuamente perpendiculares que passam pelo centro da molécula: \,C_{2}^{(x)},\,C_{2}^{(y)},\,C_{2}^{(z)}.

Passo 5

Procurando planos de espelho \sigma e identificando \sigma_h e \sigma_v. Lembre que \sigma_h é o plano perpendicular ao eixo principal (aqui temos um eixo principal de ordem 2), e \sigma_v contém o eixo principal.
  • A molécula é plana: o próprio plano que contém todos os átomos é um plano de reflexão. Esse plano é perpendicular ao eixo z (que escolhemos como o eixo perpendicular ao plano). Portanto esse plano é um plano horizontal \sigma_h. Refletir pela \sigma_h deixa a molécula inalterada porque todos os átomos estão no plano.
  • Existem também dois planos verticais que contêm o eixo z: um plano vertical contém os eixos z e x (o plano xz) e o outro contém z e y (o plano yz). Ambos são planos de simetria porque a reflexão em cada um troca partes da molécula de maneira consistente com a sua geometria (por exemplo, o plano xz passa pela ligação inter-anelar e reflete um lado do sistema no outro). Assim há \sigma_v e \sigma_v'.
    Conclusão: existem \sigma_h (o plano da molécula) e dois \sigma_v (os planos que contém z e um dos eixos do plano).

Passo 6

Procurando centro de inversão i.
  • O ponto médio central (o centro geométrico entre os anéis, por exemplo o ponto médio da ligação inter-anelar) é tal que a inversão por esse ponto leva cada átomo a um átomo idêntico do outro lado. Geometricamente, se um átomo está em (x,y,0) o correspondente simétrico está em (-x,-y,0), e esses dois são posições de átomos equivalentes nas duas metades da molécula. Portanto existe um centro de inversão i no centro da molécula.
  • Observação: a existência de i mais os três C_2 e os planos mostra que a molécula tem simetrias “completas” típicas de um grupo ortorrômbico com centro.

Passo 7

Listando todas as operações de simetria encontradas explicitamente (faço a lista completa, cada símbolo em TeX):
  • \,E (identidade).
  • \,C_{2}^{(z)} (rotação de 180^\circ em torno do eixo perpendicular ao plano).
  • \,C_{2}^{(x)} (rotação de 180^\circ em torno do eixo ao longo da ligação inter-anelar, no plano).
  • \,C_{2}^{(y)} (rotação de 180^\circ em torno do eixo no plano e perpendicular à ligação).
  • \,i (inversão pelo centro).
  • \,\sigma_h (plano da molécula).
  • \,\sigma_v(xz) (plano que contém x e z).
  • \,\sigma_v'(yz) (plano que contém y e z).
    Essa coleção de elementos é exatamente o conjunto de operações do grupo \,D_{2h}. (Explico por que em seguida.)

Passo 8

Escolhendo e especificando os eixos x,y,z de maneira clara (resposta à parte b do enunciado) — justifico e descrevo o sistema de coordenadas para uso em provas:
  • z: eixo perpendicular ao plano da molécula, passando pelo centro (ponto médio da ligação inter-anelar). É o eixo de rotação perpendicular ao plano onde existe um C_2. Este é o eixo “principal” no sentido de que é fácil visualizá-lo como a normal ao plano (uso comum em química de simetria).
  • x: eixo no próprio plano molecular, coincidindo com a direção da ligação que une os dois anéis (ou seja, ao longo da aresta que liga os dois anéis); passa pelo centro. Em rotações C_{2}^{(x)} esse eixo troca os dois anéis entre si.
  • y: eixo no plano molecular, perpendicular ao eixo x, passando pelo centro, escolhido de modo que (x,y,z) forme um sistema dextrógiro (regra da mão direita).
    Para recapitular de forma curta: z é perpendicular ao plano, x é colinear à ligação inter-anelar no plano, e y é o outro eixo no plano perpendicular a x.

Passo 9

Mostrando que o conjunto de elementos que encontramos corresponde ao grupo de pontos \,D_{2h}.
  • O grupo \,D_{2h} é caracterizado por: \{E,\; C_{2}^{(z)},\; C_{2}^{(x)},\; C_{2}^{(y)},\; i,\; \sigma_h,\; \sigma_v(xz),\; \sigma_v'(yz)\}.
  • No Passo 7 eu já listei exatamente esses elementos para o bifenil coplanar e expliquei a existência de cada um geometricamente. Portanto a molécula tem precisamente as simetrias do grupo \,D_{2h}.
    Observação didática curta: muitos polígonos/arranjos com três eixos C_2 ortogonais, centro de inversão e três planos de espelho encaixam em \,D_{2h}. O bifenil coplanar é um caso direto.

Passo 10

Resumo final (já verificado) das operações e do grupo. (Estou encerrando a resolução e em seguida dou a resposta final pedida de forma compacta.)

Resposta

a) E,\; C_{2}^{(z)},\; C_{2}^{(x)},\; C_{2}^{(y)},\; i,\; \sigma_{h},\; \sigma_{v}(xz),\; \sigma_{v}'(yz)
b) z: eixo perpendicular ao plano molecular (normal ao plano dos anéis), x: eixo no plano coincidente com a ligação inter-anelar, y: eixo no plano perpendicular a x (formando um sistema ortogonal x,y,z).
c) D_{2h}

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