Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos
e
; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
bifenil com os dois anéis perpendiculares
b) Especifique os eixos
bifenil com os dois anéis perpendiculares
Passo 1
O enunciado dá uma molécula de bifenil em que os dois anéis aromáticos estão perfeitamente perpendiculares entre si (ou seja, o ângulo diedro entre os planos dos anéis é
). Preciso responder três coisas:
a) identificar todas as operações de simetria presentes;
b) especificar os eixos usados para descrever essas operações;
c) determinar o grupo de pontos da molécula/íon.
Informações relevantes dadas: há dois anéis de benzeno ligados por uma ligação simples central, os planos dos anéis são ortogonais (perpendiculares) e assumimos a molécula idealizada e não substituída (átomos H idênticos onde o anel permite).
a) identificar todas as operações de simetria presentes;
b) especificar os eixos
c) determinar o grupo de pontos da molécula/íon.
Informações relevantes dadas: há dois anéis de benzeno ligados por uma ligação simples central, os planos dos anéis são ortogonais (perpendiculares) e assumimos a molécula idealizada e não substituída (átomos H idênticos onde o anel permite).
Passo 2
Antes de começar a procurar elementos, vou explicar rapidinho (como um amigo explicando num plantão): o que são as operações que vamos procurar?
-
: operação identidade (não muda nada). Sempre existe. -
: rotação de em torno de um eixo (por exemplo é rotação de ). -
: reflexão em um plano; quando o plano contém o eixo principal costuma-se chamar ou dependendo da geometria. -
: centro de inversão (cada ponto vai para ). -
: rotação imprópria (gira por e depois reflete no plano perpendicular ao eixo).
Vou usar esses conceitos para identificar quais realmente deixam a bifenil perpendicular inalterada (ou seja, mapeiam cada átomo num átomo idêntico).
Passo 3
Escolha do sistema de eixos (muito importante para ver as operações):
- Coloco o eixo
ao longo da ligação simples que une os dois anéis (o eixo que atravessa os dois átomos centrais que ligam os anéis). Assim o eixo é perpendicular aos planos médios entre os anéis. - Coloco um anel no plano
(ou seja, o plano do anel A contém e ). - Coloco o outro anel no plano
(o anel B contém e ).
Com essa escolha os planos dos anéis são ortogonais e o eixopassa pelo vínculo central e é natural como eixo principal. Isso facilita ver rotações e reflexões.
Passo 4
Identifico primeiro operações óbvias:
-
: claro que existe. -
ao longo de : rotação de em torno de . Por que funciona? Ao girar em torno de cada anel sofre uma rotação de no seu próprio plano; como os anéis são simétricos (hidrogênios idênticos distribuídos) e a posição relativa dos dois anéis é tal que um giro de devolve cada átomo para a posição de um átomo idêntico, a molécula coincide consigo mesma. Portanto existe um principal: .
Passo 5
Procuro eixos
perpendiculares ao
:
- Existem dois eixos
que passam pelo centro da ligação e são colineares com os eixos e que defini acima. Cada um deles é um eixo de rotação de . - Intuição: rotação
em torno de (o eixo que está no plano do anel A) troca partes simétricas do anel B de cima/baixo e simultaneamente gira o anel A dentro de si; como os anéis são benzênicos com simetria interna, essa operação leva cada átomo a um átomo equivalente. O mesmo vale para rotação em torno de . Então há dois : e .
Passo 6
Procuro operações impróprias
. Note que uma rotação de
em torno de
sozinha não é uma simetria (um giro de
leva o anel A para a orientação do anel B, mas não há reflexão que faça equivalência por si só). Porém existe um
ao longo de
:
-
é "girar em torno de e depois refletir em um plano perpendicular a " (ou seja, refletir no plano ). - Se aplicamos
à bifenil perpendicular: a rotação de troca a orientação do anel A com a do anel B (porque os planos dos anéis estão separados por ), e a reflexão no plano corrige a orientação para que cada átomo vá para um átomo idêntico. Assim é uma operação válida. Também existe (giro de + reflexão), que é a inversa. Note que é a rotação já identificada.
Passo 7
Procuro planos de reflexão. Na geometria com os eixos escolhidos existem planos diagonais que contêm o eixo
e que bissetam o ângulo entre
e
. Esses planos são chamados de planos diédricos
:
- Há duas dessas
: uma contém e o eixo que faz (plano que passa pelo eixo e pelas bissetrizes entre e ), a outra contém e a bissetriz . - Reflexão em qualquer uma dessas
troca metades da molécula de forma que cada átomo vai para um átomo idêntico (troca posições dentro de cada anel e entre anéis de maneira compatível). Logo existem duas .
Passo 8
Cheque de outros elementos (por eliminação):
- Centro de inversão
? Não: inverter por não leva cada átomo para um átomo equivalente porque os planos dos anéis trocariam de orientação de forma que não casa com a configuração original (não há simetria de inversão central nesta geometria perpendicular). - Plano
(plano perpendicular a )? Não presente: reflexão no plano perpendicular a (plano ) sozinha não é simetria (ela trocaria a orientação relativa dos anéis de forma não equivalente sem a rotação prévia). Já vimos que ela aparece combinada no , mas isoladamente não é elemento de simetria da molécula.
Portanto não hánem .
Passo 9
Resumindo as operações encontradas e verificando a contagem:
-
(identidade) — 1 elemento. -
— rotação de em torno do eixo que liga os dois anéis. - Dois
: e — rotações de em eixos perpendiculares a passando pelo centro. - Dois
: e ao longo de (giro de + reflexão no plano , e sua inversa de + reflexão). - Duas
(planos diagonais que contêm e bissetam os quadrantes ).
Total de elementos:operações.
Passo 10
Comparação com tabelas de grupos: um grupo de pontos com exatamente os elementos listados acima —
— é o grupo
. Portanto a molécula pertence ao grupo de pontos
. Esse grupo caracteriza moléculas com um eixo
principal, dois
perpendiculares, e
e planos diagonais, sem centro de inversão nem
.
Resposta
a) Operações de simetria:
e
(duas
).
b) Eixos: ao longo da ligação central que une os dois anéis;
no plano de um anel (anel A no plano
);
no plano do outro anel (anel B no plano
).
c) Grupo de pontos: .
b) Eixos:
c) Grupo de pontos: