Para cada número real \alpha consideremos a matriz: T_{\alpha}=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]. Mostre que:
(a) T_{\alpha} T_{\beta}=T_{(\alpha+\beta)}
(b) T_{-\alpha}=T_{\alpha}^{t}

Passo 1

O enunciado define para cada real \alpha a matriz de rotação
T_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
e pede dois resultados clássicos de matrizes de rotação em \mathbb{R}^2:
(a) a composição T_{\alpha}T_{\beta} corresponde à rotação de ângulo \alpha+\beta;
(b) a rotação de ângulo -\alpha coincide com a transposta de T_{\alpha}.
Para resolver, vamos usar multiplicação de matrizes 2\times2 e as identidades trigonométricas \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta e \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, além de \cos(-\alpha)=\cos\alpha, \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.

Passo 2

Calcular T_{\alpha}T_{\beta} pela regra de produto de matrizes:
T_{\alpha}T_{\beta} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta\\\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta & -(\cos\alpha\,\sin\beta + \sin\alpha\,\cos\beta)\\[6pt] \sin\alpha\,\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta & \cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta \end{pmatrix}.
Pelas identidades trigonométricas, esse produto é
\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = T_{\alpha+\beta}.]

Passo 3

Calcular T_{-\alpha} usando \cos(-\alpha)=\cos\alpha e \sin(-\alpha)=-\sin\alpha:
T_{-\alpha} = \begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\\\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.
Por outro lado, a transposta de T_{\alpha} é
T_{\alpha}^{t} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.
Logo,
T_{-\alpha} = T_{\alpha}^{t}.

Resposta

(a) T_{\alpha}T_{\beta}=T_{\alpha+\beta}.
(b) T_{-\alpha}=T_{\alpha}^{t}.

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