Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-6 x-12 y-24 z=-27, \\\\ 4 x+12 y=24 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-45 x-40 y-10 z & =-20, \\\\ -36 x-32 y-8 z & =-16 .\end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}35 x+5 z=15, \\\\ 21 x+3 z=9 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}9 x+8 y+2 z=4, \\\ x+3 y=6, \\\\ -5 x-15 y=-30 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}-27 x-21 y-3 z=-24, \\\\ 32 y+16 z=28 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-10 x-20 y-40 z & =-45, \\\\ -8 x-16 y-32 z & =-36 .\end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}9 x+7 y+z=8, \\\\ 8 y+4 z=7, \\\\ 32 y+16 z=28 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-6 x-12 y-24 z=-27, \\\\ 28 x+4 z=12, \\\ x=6 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}2 x+4 y+8 z=9, \\\\ -6 x-12 y-24 z=-27, \\\\ 7 x+z=3 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}8 x+16 y+32 z=36, \\\\ -3 x-9 y=-18 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{aligned} 2 x+4 y+8 z & =9, \\\\ 7 x+z & =3, \\\ x & =6 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned}-10 x-20 y-40 z & =-45, \\\\ -4 x-12 y & =-24 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta seis opções (A)–(F). Em cada opção há dois sistemas lineares em [x,y,z). A pergunta é: em qual opção os conjuntos- solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3})?
Vou listar os sistemas exatamente como estão no enunciado:
O objetivo é verificar, para cada sistema, se o conjunto- solução tem dimensão (1]. Vou analisar sistematicamente cada sistema.]
Passo 2
Conceitos e método que vou usar (mini-aula rápida e prática).
Num sistema linear em três incógnitas x,y,z escrevemos a matriz de coeficientes A (tamanho m\times 3) e o vetor de termos constantes b.
A dimensão do espaço solução (quando o sistema é consistente) é igual a 3-\operatorname{rank}(A). Aqui 3 é o número de incógnitas.
Se \operatorname{rank}(A)=3 e consistente \Rightarrow solução única ( dimensão 0 ).
Se \operatorname{rank}(A)=2 e consistente \Rightarrow solução é uma reta ( dimensão 1 ).
Se \operatorname{rank}(A)=1 e consistente \Rightarrow solução é um plano ( dimensão 2 ).
O sistema é inconsistente se e somente se a matriz aumentada [A\mid b] tem posto maior que o posto de A.
Na prática rápida para sistemas com poucas equações dá para:
Verificar dependência linear entre as linhas (ou entre equações) procurando escalares k tais que uma equação = k vezes outra (incluindo o termo independente). Se encontrarmos igual proporção nos coeficientes e no termo independente, são dependentes e não geram nova restrição.
Se tiver uma equação do tipo x=\text{const} ou duas equações independentes, podemos também substituir e ver se sobra grau de liberdade.
Vou aplicar essas ideias a cada sistema, verificando o posto (rank) da matriz de coeficientes e a consistência.
As duas linhas de coeficientes são (-6,-12,-24) e (4,12,0). Não existe um escalar k tal que (4,12,0)=k(-6,-12,-24), porque se 4=k(-6) então k=-\tfrac{2}{3} e para esse k teríamos 12\neq k(-12) (na verdade daria 12=8 que é falso). Logo as duas linhas são linearmente independentes, portanto \operatorname{rank}(A)=2. Não há sinais de inconsistência (não há equação contraditória), então o sistema é consistente. Assim a dimensão do conjunto- solução é
Compare as linhas: (-36,-32,-8)=0{,}8\cdot(-45,-40,-10) e -16=0{,}8\cdot(-20). Ou seja, a segunda equação é 0{,}8 vezes a primeira, inclusive no termo independente. Então as duas equações são proporcionais (dependentes) e geram apenas uma restrição efetiva: \operatorname{rank}(A)=1. O sistema é consistente (mesma proporção nos termos independentes). Portanto dimensão da solução é
3-1=2,
ou seja, um plano, não uma reta. Conclusão: em (A) apenas o primeiro sistema tem dimensão 1, o segundo tem dimensão 2. Logo (A) não é resposta.]
Compare linhas: (21,3)=0{,}6\cdot(35,5) e 9=0{,}6\cdot15. As duas equações são proporcionais (mesma constante 0{,}6), então \operatorname{rank}(A)=1 e o sistema é consistente. Dimensão da solução:
Note que a terceira equação é -5 vezes a segunda: -5(x+3y)=-5\cdot6 dá -5x-15y=-30. Logo a terceira é dependente da segunda. As equações independentes são a primeira e a segunda; claramente são independentes (a primeira envolve z, a segunda não, e não são múltiplas). Então \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente (não há contradição aparente). Portanto dimensão da solução:
3-2=1,
ou seja, é uma reta. Mas como B1 deu dimensão 2, a opção (B) não atende (um sistema é reta, o outro é plano).]
As linhas de coeficientes são (-27,-21,-3) e (0,32,16). Essas duas linhas são linearmente independentes (não é possível escalar uma para obter a outra porque a primeira tem entrada na posição x não nula enquanto a segunda tem zero em x). Logo \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente. Dimensão da solução:
Observe (-8,-16,-32)=0{,}8\cdot(-10,-20,-40) e -36=0{,}8\cdot(-45). As equações são proporcionais, então \operatorname{rank}(A)=1, consistente, e a solução tem dimensão
3-1=2,
um plano. Então em (C) temos reta + plano; (C) não é a resposta.]
A terceira equação é 4 vezes a segunda: 4(8y+4z)=32y+16z e 4\cdot7=28. Assim a terceira é dependente. As equações independentes são a primeira (envolve x e z) e a segunda (envolve y,z), que são independentes. Portanto \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente; dimensão da solução:
Encontramos um único triplo (x,y,z), ou seja, o sistema determina todas as incógnitas: \operatorname{rank}(A)=3 e a solução é única (dimensão 0), não uma reta. Assim (D) não atende.]
Note que a segunda equação é -3 vezes a primeira: -3(2x+4y+8z)=-6x-12y-24z e -3\cdot9=-27. Logo a segunda equação é dependente da primeira. Assim as equações efetivas independentes são a primeira e a terceira:
2x+4y+8z=9,\qquad 7x+z=3.
Essas duas são claramente independentes (a segunda envolve x e z com coeficientes diferentes; não é múltipla da primeira). Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente; a dimensão da solução é
As duas linhas de coeficientes são (8,16,32) e (-3,-9,0). Não existe escalar que transforme uma na outra (a segunda tem coeficiente de z igual a zero enquanto a primeira tem 32), então são linearmente independentes. Portanto \operatorname{rank}(A)=2. Não há sinal de inconsistência (os termos independentes não contradizem), logo o sistema é consistente. Dimensão da solução:
3-2=1,
ou seja, uma reta. Conclusão: em (E) ambos os sistemas têm dimensão 1.]
Da terceira equação x=6. Substituindo em 7x+z=3 obtemos z=3-7\cdot6=3-42=-39. Substitindo x=6, z=-39 na primeira obtemos y unicamente (mesmo cálculo que fiz antes): uma única solução para y. Assim todas as incógnitas ficam determinadas e o sistema tem solução única (dimensão 0). Então F1 não é reta.]
As linhas de coeficientes (-10,-20,-40) e (-4,-12,0) não são proporcionais (se multiplicássemos a segunda por 2{,}5 obteríamos (-10,-30,0), que não é a primeira). Então são independentes, \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é aparentemente consistente, logo dimensão da solução
3-2=1,
uma reta. Mas como F1 deu dimensão 0, a opção (F) não atende.]
Passo 15
Resumo das conclusões por opção:
(A): sistemas com dimensões 1 e 2 — NÃO.
(B): dimensões 2 e 1 — NÃO.
(C): dimensões 1 e 2 — NÃO.
(D): dimensões 1 e 0 — NÃO.
(E): dimensões 1 e 1 — SIM.
(F): dimensões 0 e 1 — NÃO.
Portanto a única opção em que ambos os sistemas têm conjunto- solução de dimensão 1 é a opção (E).