Q3: Sabendo que o ponto (3,-11,-2, k) pertence ao plano (-3,-3,-2,-1)+\operatorname{span}\{(-1,3,-2,-3),(2,-1,-2,-1)\}, assinale o valor de k :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7
Passo 1
O enunciado dá um ponto e um plano (na forma ponto + span) e pede o valor de k tal que o ponto pertença ao plano. Dados fornecidos:
O ponto cuja pertença ao plano é testada é (3,-11,-2,k).
O plano é dado por (-3,-3,-2,-1)+\operatorname{span}\{(-1,3,-2,-3),(2,-1,-2,-1)\}.
Ou seja, o plano tem ponto base (-3,-3,-2,-1) e geradores os vetores (-1,3,-2,-3) e (2,-1,-2,-1).
A pergunta: qual é o valor de k (entre as opções dadas) para que (3,-11,-2,k) pertença a esse plano?
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): dizer que um ponto P pertence ao conjunto \mathbf{p}_0+\operatorname{span}\{v_1,v_2\} significa que existem escalares s e t tais que
\mathbf{p}_0 + s\,v_1 + t\,v_2 = P.
Aqui \mathbf{p}_0 é o ponto base do plano, v_1,v_2 são os vetores geradores, e s,t são coeficientes escalares. Essa é simplesmente a forma paramétrica de um plano afim: partir do ponto base, anda-se na direção dos vetores geradores com pesos s e t.
Passo 3
Aplicando isso ao caso concreto: seja s,t\in\mathbb{R} tais que