Q3: Sabendo que o ponto (3,-11,-2, k) pertence ao plano (-3,-3,-2,-1)+\operatorname{span}\{(-1,3,-2,-3),(2,-1,-2,-1)\}, assinale o valor de k :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá um ponto e um plano (na forma ponto + span) e pede o valor de k tal que o ponto pertença ao plano. Dados fornecidos:
  • O ponto cuja pertença ao plano é testada é (3,-11,-2,k).
  • O plano é dado por (-3,-3,-2,-1)+\operatorname{span}\{(-1,3,-2,-3),(2,-1,-2,-1)\}.
    Ou seja, o plano tem ponto base (-3,-3,-2,-1) e geradores os vetores (-1,3,-2,-3) e (2,-1,-2,-1).
    A pergunta: qual é o valor de k (entre as opções dadas) para que (3,-11,-2,k) pertença a esse plano?

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): dizer que um ponto P pertence ao conjunto \mathbf{p}_0+\operatorname{span}\{v_1,v_2\} significa que existem escalares s e t tais que
\mathbf{p}_0 + s\,v_1 + t\,v_2 = P.
Aqui \mathbf{p}_0 é o ponto base do plano, v_1,v_2 são os vetores geradores, e s,t são coeficientes escalares. Essa é simplesmente a forma paramétrica de um plano afim: partir do ponto base, anda-se na direção dos vetores geradores com pesos s e t.

Passo 3

Aplicando isso ao caso concreto: seja s,t\in\mathbb{R} tais que
(-3,-3,-2,-1)+s(-1,3,-2,-3)+t(2,-1,-2,-1)=(3,-11,-2,k).
Escrevendo coordena por coordena obtemos o sistema
\begin{cases} -3 - s + 2t = 3,\\[4pt] -3 + 3s - t = -11,\\[4pt] -2 -2s -2t = -2,\\[4pt] -1 -3s - t = k. \end{cases}
Cada linha corresponde a uma coordenada (1ª, 2ª, 3ª, 4ª) do vetor.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo. Começo pela terceira equação porque ela é simples:
-2 -2s -2t = -2.
Subtraindo -2 dos dois lados obtemos
-2s -2t = 0,
ou dividindo por -2,
s + t = 0.
Logo
t = -s.
Essa relação entre s e t simplifica as outras equações.

Passo 5

Substituo t=-s na primeira equação:
-3 - s + 2t = 3 \quad\Rightarrow\quad -3 - s + 2(-s) = 3.
Simplificando:
-3 - s - 2s = 3 \quad\Rightarrow\quad -3 - 3s = 3.
Isolando s:
-3s = 3 + 3 = 6 \quad\Rightarrow\quad s = -2.

Passo 6

Como t=-s, temos
t = -(-2) = 2.
É bom checar na segunda equação para garantir consistência:
-3 + 3s - t = -3 + 3(-2) - 2 = -3 -6 -2 = -11,
que coincide com a segunda coordenada desejada. Portanto s=-2 e t=2 satisfazem as três primeiras equações.

Passo 7

Agora uso s e t para calcular k pela quarta equação:
k = -1 -3s - t.
Substituindo s=-2 e t=2,
k = -1 -3(-2) - 2 = -1 +6 -2 = 3.

Resposta

3

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