Em cada parte, determine uma equação da esfera com centro (2,-1,-3) e que satisfaça a condição dada:
Tangente ao plano x z.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma esfera de centro em (2,-1,-3) que seja tangente ao plano xz. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais: a equação geral da esfera com centro (x_0,y_0,z_0) e raio r,
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2,
e a fórmula da distância de um ponto ao plano, que deve ser igual a r no caso de tangência.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação do plano xz. Esse plano é o conjunto de todos os pontos cuja coordenada y é zero, logo sua equação é
y = 0.
A distância do centro (2,-1,-3) a esse plano vale
d = \frac{\bigl|y_0 - 0\bigr|}{\sqrt{1}} = |-1| = 1.
Passo 3
Como a esfera é tangente ao plano, o raio r deve ser igual a essa distância. Portanto,
r = 1.
Passo 4
Substituindo x_0=2, y_0=-1, z_0=-3 e r=1 na equação geral da esfera, temos