Em cada parte, determine a equação padrão da esfera que satisfaça as condições dadas:
Um diâmetro cujos extremos sejam (-1,2,1) e (0,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação padrão da esfera cujo diâmetro tem extremos em (-1,2,1) e (0,2,3). Vamos usar a ideia de que o centro da esfera é o ponto médio do diâmetro e que o raio é metade da distância entre os extremos.

Passo 2

O centro (h,k,l) é o ponto médio de (-1,2,1) e (0,2,3), isto é,
h = \frac{-1 + 0}{2} = -\tfrac12,\quad k = \frac{2 + 2}{2} = 2,\quad l = \frac{1 + 3}{2} = 2.

Passo 3

A distância entre os extremos do diâmetro é
\sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{5}.
Logo, o raio é
r = \frac{\sqrt{5}}{2},
e
r^2 = \frac{5}{4}.

Passo 4

A equação padrão da esfera com centro (h,k,l) e raio r é
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2.
Substituindo os valores encontrados,
(x + \tfrac12)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = \frac{5}{4}.

Resposta

(x + \tfrac12)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = \frac{5}{4}

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