Em cada parte, determine todos os valores de p para os quais a integral é imprópria.
\int_{0}^{1} e^{-p x} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os valores de p em que
\int_{0}^{1} e^{-p x}\,dx
é uma integral imprópria. Lembrando que uma integral é imprópria se o intervalo de integração for infinito ou se o integrando tiver singularidade (tornar-se não limitado) em algum ponto do intervalo.

Passo 2

Verificamos o intervalo de integração: é de x=0 até x=1. Esse intervalo é finito, não há “infinito” nos limites de integração, portanto não é impróprio por causa do domínio.

Passo 3

Agora observamos o integrando f(x)=e^{-p x}. Como a função exponencial é contínua e finita para todo x real e qualquer p\in\mathbb{R}, não há pontos em [0,1] onde f(x) fique não limitada ou singular.

Passo 4

Como o intervalo é finito e o integrando é contínuo (logo limitado) em todo [0,1] para qualquer p, concluímos que a integral é própria para todo valor real de p.

Resposta

Não existe nenhum valor de p que torne essa integral imprópria.

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