Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A. A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 4 & 5 & 2 \\\\ 2 & 1 & 3 & 0 \\\\ -1 & 3 & 2 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base do espaço nulo de A. A matriz dada é
Informações relevantes que temos: a matriz A é 3\times4. Queremos todos os vetores \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} tais que
A\mathbf{x}=\mathbf{0}.]
Passo 2
O que vamos fazer (sem resolver ainda): para achar o espaço nulo resolvemos o sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} por eliminação de Gauss (redução por linhas). Cada passo de eliminação transforma as equações sem alterar o conjunto de soluções. Variáveis correspondentes a colunas com pivô são pivotais (escritas em função das outras); colunas sem pivô dão variáveis livres, que parametram a solução e conduzem à base do espaço nulo.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada (coluna de zeros à direita) implicitamente e começo a aplicar operações elementares às linhas da matriz A. Começo com
As colunas com pivô são a primeira e a segunda. Portanto x_{1} e x_{2} são variáveis pivotais; x_{3} e x_{4} são variáveis livres. Vou chamá-las de parâmetros:
Para apresentar uma base com vetores inteiros (mais confortável na prova), posso escolher t=7 como parâmetro especial para o segundo vetor — isso não muda a base, apenas troca o parâmetro por um múltiplo. Com s=1 e t=7 obtemos os geradores
Esses dois vetores são linearmente independentes (vêm de parâmetros distintos) e geram todo o espaço nulo (qualquer combinação linear de \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} descreve a solução geral). Assim formam uma base do espaço nulo de A. A dimensão do espaço nulo é 2 (dois graus de liberdade).]