Pergunta explícita: achar uma base de \{x\in\mathbb{R}^5 \mid Ax=0\}, ou seja, descrever todos os vetores x que satisfazem Ax=0 e fornecer vetores que formam uma base desse subespaço.]
Passo 2
O plano de ataque (sem computar ainda): para achar o espaço nulo resolvemos o sistema homogêneo Ax=0 por eliminação de Gauss (reduzir A a uma forma escalonada, encontrar variáveis-pivô e variáveis livres, expressar as variáveis pivô em função das livres). Cada variável livre vira um parâmetro; escrevendo a solução em forma paramétrica obtemos vetores que geram o nul(A). Esses vetores, obtidos dando valor 1 a um parâmetro e 0 aos outros, formam uma base do espaço nulo (desde que sejam linearmente independentes — o processo garante isso).
Vou executar a eliminação passo a passo, explicando cada operação.
Passo 3
Coloco a matriz aumentada (sem coluna de termos independentes, porque é homogênea), apenas a matriz A. Vou aplicar operações elementares por linhas.
Interpretação: há pivôs nas colunas 1 e 2. As colunas 3,4,5 correspondem a variáveis livres.]
Passo 6
Escrevo as equações lineares resultantes (cada linha corresponde a uma equação):
Da primeira linha:
x_1 + x_3 + 2x_4 + x_5 = 0.
Da segunda linha:
x_2 + x_3 + x_4 + 2x_5 = 0.
As variáveis livres são \\ x_3,\\ x_4,\\ x_5. Faço a parametrização:
x_3 = s,\qquad x_4 = t,\qquad x_5 = u,
onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros.
Da primeira equação:
x_1 = -x_3 - 2x_4 - x_5 = -s - 2t - u.
Da segunda:
x_2 = -x_3 - x_4 - 2x_5 = -s - t - 2u.
Passo 7
Escrevo o vetor solução x em função de s,t,u:
x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\\[4pt]x_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -s-2t-u\\[4pt] -s-t-2u\\[4pt] s\\[4pt] t\\[4pt] u \end{pmatrix}.
Separando em combinacão linear dos parâmetros s,t,u:
x = s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cada um desses vetores corresponde a pegar um parâmetro igual a 1 e os outros 0. Pelo processo de eliminação, eles são linearmente independentes e geram todo o espaço nulo.]
Passo 8
Concluímos que uma base do espaço nulo de A é formada pelos três vetores (as coordenadas em \mathbb{R}^5):