Em cada parte, encontre uma forma fechada para a enésima soma parcial de série e determine se a série converge. Se convergir, encontre sua soma.
\ln \left(1-\frac{1}{4}\right)+\ln \left(1-\frac{1}{9}\right)+\ln \left(1-\frac{1}{16}\right)+\cdots
+\ln \left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right)+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial de
\sum_{k=1}^{n}\ln\!\biggl(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\biggr)
e quer saber se, ao deixar n\to\infty, a série converge e, em caso afirmativo, qual é sua soma. O conteúdo envolvido é o uso da propriedade de logaritmos para transformar soma em produto e aplicar cancelamento (técnica telescópica).

Passo 2

Vamos reescrever o termo genérico usando
1-\frac{1}{(k+1)^{2}} =\frac{(k+1)^{2}-1}{(k+1)^{2}} =\frac{k(k+2)}{(k+1)^{2}}
Logo
\ln\!\biggl(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\biggr) =\ln\frac{k}{k+1}+\ln\frac{k+2}{k+1}
e a soma parcial fica
S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\biggl[\ln\frac{k}{k+1}+\ln\frac{k+2}{k+1}\biggr].

Passo 3

Separe em duas somas e observe o cancelamento:
\sum_{k=1}^{n}\ln\frac{k}{k+1} =\ln\frac{1}{2}+\ln\frac{2}{3}+\cdots+\ln\frac{n}{n+1} =\ln\frac{1}{n+1},
\sum_{k=1}^{n}\ln\frac{k+2}{k+1} =\ln\frac{3}{2}+\ln\frac{4}{3}+\cdots+\ln\frac{n+2}{n+1} =\ln\frac{n+2}{2}.
Somando,
S_{n} =\ln\frac{1}{n+1}+\ln\frac{n+2}{2} =\ln\frac{n+2}{2(n+1)}.

Passo 4

Para verificar a convergência, basta olhar o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\ln\frac{n+2}{2(n+1)} =\ln\frac{1}{2} =-\ln2.
Isso mostra que a série converge e sua soma é -\ln2.

Resposta

A n-ésima soma parcial é
S_{n}=\ln\frac{n+2}{2(n+1)},
e a série converge para
\sum_{k=1}^{\infty}\ln\!\biggl(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\biggr) =-\ln2.

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