Em cada parte, encontre uma forma fechada para a enésima soma parcial de série e determine se a série converge. Se convergir, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado pede a soma parcial de
e quer saber se, ao deixar
, a série converge e, em caso afirmativo, qual é sua soma. O conteúdo envolvido é o uso da propriedade de logaritmos para transformar soma em produto e aplicar cancelamento (técnica telescópica).
Passo 2
Vamos reescrever o termo genérico usando
Logo
e a soma parcial fica
Passo 3
Separe em duas somas e observe o cancelamento:
Somando,
Passo 4
Para verificar a convergência, basta olhar o limite quando
:
Isso mostra que a série converge e sua soma é
.
Resposta
A
-ésima soma parcial é
e a série converge para