Em cada parte, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade.
$\left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]$

O enunciado pede para obter a matriz

A = \begin{pmatrix}1 & -3 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}

a partir da matriz identidade

I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}

usando uma única operação elementar de linhas. O conteúdo é “matrizes elementares” e “operações de linha”; vamos identificar qual operação transforma

I

A

e, em seguida, escrever a matriz elementar correspondente.]

Analisando

A

, vemos que a segunda linha permanece

(0,1)

, igual à de

I

, e a primeira linha passou de

(1,0)

para

(1,-3)

. Isso é conseguido somando

-3

vezes a segunda linha à primeira. Em notação de operações de linha:

R_{1} \;\longleftarrow\; R_{1} \;-\; 3\,R_{2}.

A matriz elementar

E

correspondente a essa operação é obtida aplicando-a em

I

. Por definição,

E

é justamente a imagem de

I

sob a operação de linha, logo

E \;=\; \begin{pmatrix}1 & -3 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.

Verificando:

E \cdot I =\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1 + (-3)\cdot0 & 1\cdot0 + (-3)\cdot1 \\[4pt] 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot0 + 1\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =A.

]

Operação de linha:

R_{1} \leftarrow R_{1} - 3\,R_{2}.

Matriz elementar:

\begin{pmatrix}1 & -3 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.

]

Em cada parte, encontre uma operação com linhas e a matriz elementar correspondente que retorna a matriz elementar dada à matriz identidade. \left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]