Em cada parte, encontre todos os valores de x com os quais a série converge e encontre a soma da série com aqueles valores de x.
\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}+\frac{4}{x^{4}}+\frac{8}{x^{5}}+\frac{16}{x^{6}}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série
\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}+\frac{4}{x^{4}}+\frac{8}{x^{5}}+\cdots
e pede (a) para quais x ela converge e (b) em função de x, qual é sua soma.
O conteúdo envolvido é o de séries geométricas. Vamos identificar sua razão e aplicar a fórmula de soma, lembrando de verificar a condição de convergência \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Começamos escrevendo o termo geral. Para n\ge1, o n-ésimo termo é
a_{n}=\frac{2^{\,n-1}}{x^{\,n+1}}.
Repare que
a_{1}=\frac{2^{0}}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}},
e que podemos fatorar
a_{n}=\frac{1}{x^{2}}\;\biggl(\frac{2}{x}\biggr)^{n-1}.
Isso mostra que é uma série geométrica de primeiro termo
\displaystyle a=\frac{1}{x^{2}}
e razão
\displaystyle r=\frac{2}{x}.

Passo 3

A série geométrica converge exatamente quando
\bigl\lvert r\bigr\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl\lvert \tfrac{2}{x}\bigr\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x\rvert>2.

Passo 4

Para \lvert x\rvert>2, a soma da série é
S =\frac{a}{1-r} =\frac{\frac{1}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}} =\frac{1}{x^{2}}\;\frac{1}{\frac{x-2}{x}} =\frac{1}{x^{2}}\;\frac{x}{x-2} =\frac{1}{x(x-2)}.

Passo 5

Convém checar os pontos extremos x=2 e x=-2:
  • Se x=2, cada termo vale \tfrac{2^{n-1}}{2^{n+1}}=\tfrac14, a série não tende a zero e diverge.
  • Se x=-2, os termos são \tfrac{1}{4}(-1)^{n+1}, de módulo constante \tfrac14, e também não tendem a zero, logo divergem.

Resposta

A série converge se, e somente se, \lvert x\rvert>2.
Para esses valores de x, sua soma é
S(x)=\frac{1}{x(x-2)}.

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