Em cada parte, encontre todos os valores de x com os quais a série converge e encontre a soma da série com aqueles valores de x.
e^{-x}+e^{-2 x}+e^{-3 x}+e^{-4 x}+e^{-5 x}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\cdots
e pede, primeiro, para achar os valores de x em que essa série converge; e depois, para determinar a soma da série nesses valores de x. O conteúdo principal aqui é série geométrica infinita.

Passo 2

Para reconhecer a série como geométrica, note que o primeiro termo é
a = e^{-x}
e a razão entre termos sucessivos é
r = \frac{e^{-2x}}{e^{-x}} = e^{-x}.

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica infinita com termos a, ar, ar^2,\dots converge se, e somente se,
|r| < 1.
No nosso caso, r = e^{-x} é sempre positivo, então a condição vira
e^{-x} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -x < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 0.
Logo, a série converge para todo x>0.

Passo 4

Quando x>0, a soma de uma série geométrica infinita é
S = \frac{a}{1-r}.
Substituindo a = e^{-x} e r = e^{-x}, obtemos
S = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}.

Passo 5

Podemos simplificar a expressão de S multiplicando numerador e denominador por e^x:
S = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \frac{1}{e^x - 1}.

Resposta

A série converge para x>0 e, nesse caso,
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \frac{1}{e^x - 1}.

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