Em cada parte, encontre todos os valores de x com os quais a série converge e encontre a soma da série com aqueles valores de x. x-x^{3}+x^{5}-x^{7}+x^{9}-\cdots
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
x - x^{3} + x^{5} - x^{7} + x^{9} - \cdots
determinando para quais valores de x ela converge e, nesses valores, encontrar a soma. O conteúdo envolvido é séries de potências e, em particular, o reconhecimento de uma série geométrica. Vamos precisar da condição de convergência e da fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Reescrevemos a série em forma de soma indexada. Observando os expoentes e os sinais, temos
x - x^{3} + x^{5} - x^{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\,x^{2n+1} = x \sum_{n=0}^{\infty} \bigl(-x^{2}\bigr)^{n}.
Passo 3
A soma interna é uma série geométrica de razão
r = -x^{2}
e primeiro termo a = 1. Uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}r^{n} converge se, e só se, \lvert r\rvert<1. Aqui isso dá